Un resultado común es que los módulos generados finitamente sobre un PID $R$ son proyectivas si son libres.
¿Es lo mismo que un módulo proyectivo arbitrario sobre un EPI sea libre? No encuentro este hecho en ningún sitio, así que sospecho que es falso, pero no puedo construir un ejemplo.
¿Alguien tiene un ejemplo de un módulo proyectivo sobre un EPI que no sea libre? Gracias.
Una prueba de que todo módulo proyectivo sobre un PID es libre aparece en $\S$ 3,9 de mis apuntes de álgebra conmutativa .
Como menciona Qiaochu Yuan, los módulos proyectivos generados de forma infinita son libres. Una generalización del resultado de Kaplansky es un teorema de 1963 de H. Bass: sea $R$ sea un anillo noetheriano conexo (es decir, sin idempotentes no triviales). Entonces todo anillo proyectivo infinitamente generado $R$ -el módulo es gratuito. También existe un resultado de Gabel según el cual todo módulo establemente libre generado infinitamente es libre. Ambas afirmaciones aparecen en $\S$ 6.5.1 de mis notas; el teorema de Gabel está demostrado (siguiendo las notas de Keith Conrad); el teorema de Bass no.
[La conectividad es necesaria para descartar ejemplos baratos de módulos proyectivos no libres como $\{0\} \times R_2$ sobre el anillo $R_1 \times R_2$ . Es análogo al hecho de que todo espacio topológico desconectado admite ejemplos baratos de haces vectoriales no triviales].
Sospecho que se puede deducir el teorema de Kaplansky a partir de algunos de los otros resultados de mis notas, especialmente el sorprendente teorema (de Kaplansky) de que cualquier módulo proyectivo (sobre cualquier anillo conmutativo) es una suma directa de submódulos generados contablemente. Esto lo reduce a uno al caso contable. Entonces me gustaría decir que se puede demostrar que un módulo proyectivo generado contablemente sobre un dominio Dedekind es libre utilizando el hecho de que cada submódulo generado finitamente es de la forma $R^n \oplus I$ para un ideal $I$ de $R$ y "empujando el ideal $I$ hasta el infinito". (Intentaré echar un vistazo a esto cuando tenga la oportunidad. Si alguien quiere ayudarme aportando detalles, no dude en hacerlo).
Finalmente, $\S$ 6.5.1 también contiene un ejemplo de un módulo proyectivo generado infinitamente sobre un anillo conexo no noeteriano que no es libre. Este ejemplo se debe a...Kaplansky.
La verdad es que (para mí) es bastante sorprendente: Kaplansky demostró que un módulo proyectivo generado infinitamente sobre cualquier dominio Dedekind $D$ ¡es gratis! (La afirmación correspondiente para módulos proyectivos generados finitamente es equivalente a $D$ teniendo un grupo de clase trivial). Se hace referencia a esto, por ejemplo, aquí .
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