¿Cuál es el análogo cuántico del desplazamiento infinitesimal clásico con invariancia de Lorentz? Donde el desplazamiento infinitesimal clásico viene dado por:
$$ ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2.$$
Respuesta
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El objeto $\mathrm ds^2$ no es realmente un desplazamiento infinitesimal, sino un métrica . En la QM no relativista, la métrica es la estándar, la euclidiana $$ \mathrm ds^2=\mathrm d\boldsymbol r^2 $$ de modo que, por ejemplo, el laplaciano de la ecuación de Schrödinger es $$ \Delta=-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol r}\cdot\frac{\partial}{\partial\boldsymbol r} $$ como siempre.
Por otro lado, en la QM relativista, $\mathrm ds^2$ es la métrica de Minkowski, $$\mathrm ds^2=\mathrm dt^2-\mathrm d\boldsymbol r^2$$ con Laplaciano $$ \Delta=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol r}\cdot\frac{\partial}{\partial\boldsymbol r} $$ también conocido como d'Alambertian.
Finalmente, en la QM en el espacio-tiempo curvo, la métrica es en principio arbitraria $$ \mathrm ds^2=g_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu\mathrm dx^\nu $$
