Submanifold asociado a la explosión.

Question

Estoy tratando de entender la explosión clásica dada por $$X=\{(x,[y])\in \mathbb{R}^n \times \mathbb{P}_N / \hspace{0.2cm} \exists \lambda \in \mathbb{R} \hspace{0.3cm} \text{such that} \hspace{0.3cm} x=\lambda y \} $$ y $$\Pi_X: X \longrightarrow \mathbb{R}^n \hspace{0.4cm} \text{the first projection restricted to X}$$

He demostrado que $\Pi^{-1}(\{0\})= \{0\}\times \mathbb{P}_N \subset X$ y que $\Pi_{X\setminus (\{0\}\times \mathbb{P}_N)}$ es un homeomorfismo (en realidad un difeomorfismo). Pero me di cuenta de que también debería probar que $X$ es un submanifold de la manifestacion $\mathbb{R}^n \times \mathbb{P}_N$ .

Mi pregunta es: ¿cómo hacerlo? Si $X$ fuera un subconjunto abierto sería fácil, simplemente cortando las cartas de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{P}_N $ con $X$ pero $X$ no está abierto (de hecho está cerrado). Considero que el corte de los gráficos de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{P}_N$ con $X$ pero si lo he hecho bien, el resultado no son gráficos para $X$ porque los conjuntos de corte de los gráficos no son homeomorfos a conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^n$ . Entonces pensé en usar $\Pi$ para construir gráficos en $X$ pero el $\Pi$ no es un homeomorfismo si el conjunto $\{0\}\times \mathbb{P}_N$ (que está cerrado en $X$ ) se considera en su dominio.

Answer 1

Portada $X$ por los subconjuntos abiertos $U_i=\{y_i \neq 0\}\subset X$ y demostrar que $X\cap U_i\subset U_i$ es un submanifold.

Explícitamente:

Para $i=0$ digamos que tenemos la identificación $U_0=\mathbb R^{N+1}\times \mathbb R^N$ donde en esa identificación $(y_1,\cdots,y_N)\in \mathbb R^N$ se identifica con $[1:y_1\cdots:y_N]\in \mathbb P^N(\mathbb R)$ .
En esta configuración $ X\cap U_0$ se compone de los pares $((x_0,x_1,\cdots,x_N),(y_1,\cdots,y_N))\in \mathbb R^{N+1}\times \mathbb R^N$ tal que $x_i=x_0y_i$ para $i=1,\cdots,N$ , por lo que $X\cap U_0$ consiste en todos los pares $$((x_0,x_0y_1,\cdots,x_0y_N),(y_1,\cdots,y_N))\in \mathbb R^{N+1}\times \mathbb R^N$$ Estos pares forman claramente un submanifold de $\mathbb R^{N+1}\times \mathbb R^N$ parametrizado por $x_0,y_1,\cdots,y_N$ y es isomorfo a $\mathbb R^{N+1}$ .

Así, hemos demostrado que $X\cap U_0$ es un submanifold de $U_0=\mathbb R^{N+1}\times \mathbb R^N$ y una prueba similar muestra que $X\cap U_i$ es un submanifold de $U_i$ para $i=1,\cdots,N$ .