Orden de las matrices en $GL_2(\mathbb{Z})$

Question

Dejemos que $A\in GL_2\left(\mathbb{Z}\right)$ el grupo de matrices invertibles con coeficientes enteros, y denotamos por $\omega(A)$ el orden de $A$ .

Cómo demostramos que $$\left\{\omega(A);A\in GL_2\left(\mathbb{Z}\right)\right\}=\{1,2,3,4,6,\infty\}.$$

Answer 1

Supongamos que $A\in GL_2\left(\mathbb{Z}\right)$ tiene un orden finito, digamos $n$ . Entonces $A^n=I$ . Ahora mira esta matriz como una matriz en $M_2(\mathbb Q)$ Tenemos $\det A=\pm 1$ y si consideramos su polinomio mínimo $m_A\in\mathbb Q[X]$ esto debe dividir $X^n-1$ y $\deg m_A\le 2$ .

Si $\deg m_A=1$ entonces $m_A=X-1$ Es decir, $A=I$ y $n=1$ o $m_A=X-1$ Es decir, $A=-I$ y $n=2$ . (Las únicas raíces racionales de la unidad son $\pm1$ .)

Si $\deg m_A=2$ entonces $m_A(X)=(X-\epsilon_1)(X-\epsilon_2)$ , $\epsilon_1\neq\epsilon_2$ , donde $\epsilon_i$ es un $n$ raíz de la unidad. Como $m_A\in\mathbb Q[X]$ tenemos $\epsilon_1+\epsilon_2\in\mathbb Q$ y $\epsilon_1\epsilon_2\in\mathbb Q$ . De hecho, $m_A(X)=X^2-\operatorname{tr}(A)X\pm1$ y así obtenemos $\epsilon_1+\epsilon_2\in\mathbb Z$ y $\epsilon_1\epsilon_2=\pm1$ . Si $\epsilon_1=1$ entonces $\epsilon_2=-1$ , $m_A=X^2-1$ y por lo tanto $A^2=I$ Así que $n=2$ . Supongamos ahora que $\epsilon_i\neq 1$ . Algunas observaciones fáciles muestran que el único caso a considerar es $\epsilon_1\epsilon_2=1$ Es decir, $\epsilon_2=\overline{\epsilon}_1$ . Entonces $m_A(X)=X^2-2\cos\frac{2k\pi}{n}X+1$ con $n\ge 2$ y $1\le k<n$ . Pero $2\cos\frac{2k\pi}{n}\in\mathbb Z$ implica $2\cos\frac{2k\pi}{n}=0,\pm1,\pm2$ por lo que tenemos cinco posibles polinomios mínimos: $X^2+1$ , $X^2\pm X+1$ y $X^2\pm2X+1$ . (En realidad sólo tres, ya que los dos últimos no pueden aparecer.) Estos dan: $A^2+I=0$ Así que $n=4$ ; $A^2+A+I=0$ Así que $n=3$ y $A^2-A+I=0$ Así que $n=6$ .

Dejo al OP el placer de encontrar para cada uno $n\in\{1,2,3,4,6,\infty\}$ una matriz $A\in GL_2\left(\mathbb{Z}\right)$ de orden $n.$

Answer 2

Sugerencia: considere el polinomio mínimo para dicha matriz. Si $A$ tiene orden $n$ el polinomio mínimo debe dividir $x^n-1$ y no más pequeño $x^m-1$ .

Answer 3

Supongamos que $A\in\mathrm{GL}_2(\mathbb Q)$ tiene orden $n$ . Es evidente que existe un grado $2$ extensión $\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q$ tal que $A\in\mathrm{GL}_2(\mathbb Q(\sqrt d))$ es diagonalizable, digamos $PAP^{-1}=\begin{bmatrix}a & c\\&b\end{bmatrix}$ para $P\in\mathrm{GL}_2(\mathbb Q(\sqrt d))$ .

Dado que esta matriz tiene orden $n$ (la conjugación no cambia el orden), debemos tener $a^n=b^n=1$ . Así, el grupo multiplicativo $\langle a,b\rangle\subseteq \mathbb Q^\times$ es $\langle\zeta_n\rangle$ por lo que debemos tener $\mathbb Q(a,b)=\mathbb Q(\zeta_n)\subseteq\mathbb Q(\sqrt d)$ . Sin embargo, dado que $\mathrm{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/n)^\times$ la ampliación $\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q$ tiene grado $\varphi(n)$ . Así, obtenemos $\varphi(n)=[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]\le[\mathbb Q(\sqrt d):\mathbb Q]=2$ .

En resumen, necesitamos $\varphi(n)\le2$ que sólo puede ocurrir para $n\in\{1,2,3,4,6\}$ .