No sé casi nada de la teoría de las EDP. En mi estudio sobre un problema geométrico me llevó al flujo de Ricci en la métrica de Riemann. En el procedimiento de resolución del flujo vemos el concepto de linealización. Me gustaría saber:
¿en qué consiste el método de linealización en la resolución de EDP, y su motivación?
La linealización no proporciona una solución a una ecuación diferencial no lineal, y mucho menos una solución válida en cualquier lugar excepto en los puntos en los que se linealiza.
De hecho, lo que estás haciendo es aproximar la ecuación no lineal con una lineal en un punto concreto. Cuanto más te alejes de ese punto, peor será la aproximación. La razón principal para hacer esto no es obtener una solución, sino observar el comportamiento de la solución en esos puntos. Normalmente se resuelve la ecuación diferencial para los puntos en los que todas las derivadas son iguales a $0$ , lo que significa que esos puntos son puntos fijos y no hay movimiento en esos puntos. A continuación, se observan los valores propios de la matriz de los términos de primer orden de la serie de Taylor. Estos valores propios te darán una idea de la estabilidad en esos puntos.
Además de los enlaces en los comentarios yo miraría este para teoría de la estabilidad
Pero cualquier linealización no va a ser extensible sobre el dominio. Existen métodos numéricos para resolver las EDP no lineales, pero no te darán una fórmula de forma cerrada.
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