Usuario $xxxxx$ publicó (y luego borró) la siguiente pregunta que creo que merece estar aquí:
Demostrar que el producto tensorial de dos módulos artinianos es artiniano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jonik
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La versión no conmutativa está algo rota ya que los productos tensoriales cambian de anillo. Sea $D$ sea un anillo de división de dimensión infinita sobre su centro $K$ . Entonces $D_D$ y ${}_DD$ son artinianos, pero $D\otimes_D D = D_K$ no lo es.
Ya se puede ver el problema cuando se plantea la hipótesis claramente: un módulo es artiniano derecho, un módulo es artiniano izquierdo, el producto tensorial resultante no es uniforme sobre el mismo anillo, y no tiene condiciones de cadena asociadas.
Los comentarios señalan que un producto tensorial de módulos artinianos sobre un anillo conmutativo es a la vez artiniano y noetheriano. Una prueba relativamente elemental debida a Facchini, Faith y Herbera aparece como (un resultado auxiliar) Prop 6.1 en Faith-Herbera (1997).
Si $R$ es un anillo cuasilocal conmutativo y $M,N$ son artinianos $R$ -y luego las cadenas descendentes $M \geq JM \geq \dots \geq J^nM$ finalmente se estabiliza, digamos en $n$ para ambos. Entonces $J^nM \otimes N = (JJ^nM) \otimes N = J^nM \otimes JN = \dots J^nM \otimes J^k N$ pero cada elemento de $N$ es aniquilado por una potencia de $J$ Así que todos los generadores de $J^nM \otimes N$ es 0, y $J^nM \otimes N = 0$ . Desde $J^n M \otimes N \to M \otimes N \to M/J^nM \otimes N \to 0$ es exacta, obtenemos $M \otimes N \cong M/J^nM \otimes N$ . Del mismo modo, aplicamos $J$ a $N$ para conseguir $M \otimes N \cong M/J^nM \otimes N/J^nN$ . Ahora bien, los factores del producto tensorial son ambos de longitud finita, por lo que la longitud del producto tensorial es, como máximo, el producto de esas dos longitudes y, en particular, es finita.
No estoy seguro de lo elemental que es la reducción al caso local, pero supongo que es bien conocida.
- Faith, Carl; Herbera, Dolors. "Anillos de endomorfismo y productos tensoriales de módulos linealmente compactos". Comm. Algebra 25 (1997), no. 4, 1215-1255. MR 1437670 DOI: 10.1080/00927879708825918
