Necesito demostrar que: Si un valor distinto de cero lineal funcional $f$ sobre un Espacio de Banach $X$ es discontinuo, a continuación, el nullspace $N_f$ es denso en $X$.
Para demostrar que $N_f$ es densa, es suficiente para mostrar que $\overline N_f = X$ que es equivalente a $(X \setminus N_f)^o=\emptyset$. (el interior de complemento de $N_f$ es nulo.) Desde $f$ es un funcional lineal y es discontinuo, tiene que ser ilimitado. No sé exactamente cómo utilizar estas observaciones.
También en relación a este tema, estoy un poco confundido acerca de cómo explotar el Lineal Funcional $f:X \to R$ o un Operador Lineal $T:X \to Y$ ser ilimitado. Puedo decir que si un operador lineal es acotada, entonces existe una secuencia $<x_n>$ $X$ s.t. $||Tx_n|| > n^2||x_n||$ por cada $n$ o $||Tx_n|| > n||x_n||$ ?