Lineal funcional en un espacio de Banach es discontinua y su nullspace es denso.

Question

Necesito demostrar que: Si un valor distinto de cero lineal funcional $f$ sobre un Espacio de Banach $X$ es discontinuo, a continuación, el nullspace $N_f$ es denso en $X$.

Para demostrar que $N_f$ es densa, es suficiente para mostrar que $\overline N_f = X$ que es equivalente a $(X \setminus N_f)^o=\emptyset$. (el interior de complemento de $N_f$ es nulo.) Desde $f$ es un funcional lineal y es discontinuo, tiene que ser ilimitado. No sé exactamente cómo utilizar estas observaciones.

También en relación a este tema, estoy un poco confundido acerca de cómo explotar el Lineal Funcional $f:X \to R$ o un Operador Lineal $T:X \to Y$ ser ilimitado. Puedo decir que si un operador lineal es acotada, entonces existe una secuencia $<x_n>$ $X$ s.t. $||Tx_n|| > n^2||x_n||$ por cada $n$ o $||Tx_n|| > n||x_n||$ ?

Answer 1

Si $f$ es discontinua, entonces usted puede encontrar una secuencia de vectores no nulos $(x_n)$ $|f(x_n)|\ge n \Vert x_n\Vert$ por cada $n$. La normalización de la $x_n$, y sigue llamando $x_n$, obtenemos una secuencia de norma uno de los vectores $(x_n)$ tal que $$\tag{1}|f(x_n)|\ge n,\quad\text{for each } n=1,2,\ldots.$$

Ahora supongamos $x\notin {\text{Ker}(f)} $. Considere la secuencia $$ z_n = x-\estilo de texto{f(x)\más de f(x_n) } x_n. $$ Uno fácilmente se comprueba que $z_n\in {\text{Ker}(f)}$ por cada $n$. Por otra parte, de $(1)$, tenemos
$$\Vert z_n - x\Vert=\Bigl\Vert\estilo de texto{f(x)\más de f(x_n) } x_n \Bigr\Vert =\Bigl|\estilo de texto{f(x)\más de f(x_n) }\Bigr|\quad\buildrel{n\rightarrow\infty}\over\longrightarrow\quad0 .$$ De esto se sigue que $x\in\overline{\text{Ker}(f)}$. Como $x$ fue un elemento arbitrario no en $ {\text{Ker}(f)}$, se deduce que el $\overline{\text{Ker}(f)}=X$.

Con respecto a tu última pregunta, si $f$ es discontinuo y si $\alpha_n$ es cualquier secuencia de escalares, usted puede encontrar una secuencia de vectores no nulos $(x_n)$$|f(x_n)|\ge \alpha_n \Vert x_n\Vert$.

Answer 2

Sugerencia: $\overline{N_f}$ es un subespacio de $X$con $N_f$. ¿Qué puede decir acerca de $\mathrm{codim}\, N_f$?

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Vale. Así que te voy a dar la respuesta. $N_f$ No es cerrada (desde $f$ es discontinua [¿sabes que?]), $\overline{N_f} \supsetneq N_f$. Sigue que $\text{codim}\, \overline{N_f} < \text{codim}\, N_f = 1$ (desde $\dim \text{Im}\, f = 1$). So $\text{codim}\,\overline{N_f} = 0$, i. e. $\overline{N_f} = X$.

HTH, AB