¿Cómo se encuentra la velocidad final cuando la aceleración cambia entre dos valores a lo largo de una distancia?

Question

¿Cómo se calcula la velocidad final de un objeto cuando se da su velocidad inicial y el objeto está acelerando entre una aceleración inicial y una final a lo largo de una distancia determinada?

Answer 1

Tu problema aquí es que tu ecuación tiene la forma

$$ \frac{dv}{dt} = f(x) $$

Es decir, en el lado izquierdo tienes una derivada con respecto al tiempo, pero en el lado derecho tienes una función de la distancia. Para resolver esto se necesita uno de los (muchos) trucos que los físicos sólo aprenden con la experiencia. Hay que utilizar la regla de la cadena para reescribir:

$$ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v $$

Así que ahora puedes reescribir tu ecuación como

$$ v \frac{dv}{dx} = f(x) $$

y luego integrar:

$$ \int v dv = \int f(x) dx $$

Answer 2

He aquí un ejemplo para demostrar que el problema tal y como se plantea en la pregunta original está infradeterminado.

Supongamos que la distancia $s$ recorrida por el objeto en el momento $t$ viene dada por

$s(t) = 91t^3 -49t^4 +21t^5$

Entonces la velocidad y la aceleración del objeto son

$v(t) = 273t^2 - 196t^3 + 105t^4 \\ a(t) = 546t - 588t^2 + 420t^3$

Así que tenemos $s(0)=v(0)=a(0)=0$ y $s(1)=63$ , $v(1)=182$ , $a(1)=378$

Pero ahora supongamos que la distancia, la velocidad y la aceleración del objeto son:

$s(t) = 51t^3 +21t^4 -9t^5 \\ v(t)=153^2+84t^3-45t^4 \\ a(t)=306t+252t^2-180t^3$

Así que ahora tenemos $s(0)=v(0)=a(0)=0$ y $s(1)=63$ , $v(1)=144$ , $a(1)=378$

Así que tenemos dos escenarios diferentes en los que el objeto recorre una distancia de $63$ su velocidad inicial y su aceleración inicial son ambas $0$ su aceleración final es $378$ pero su velocidad final es $182$ en un caso y $144$ en el otro.

Answer 3

Como han dicho otros, si se tiene una función de aceleración dada explícitamente en función de la distancia se pueden utilizar trucos matemáticos para hacerlo, o utilizar la relación entre trabajo y energía cinética

$1/2mv^2 = \int F(x) dx$

$1/2v^2 = \int a(x) dx$

Sin embargo, dado que realmente tiene la aceleración como una función del tiempo, podemos hacer esto para resolver:

$V=\int a(t) dt$

Enchufar $(t=0, v=v_{0})$

A continuación, utilice esta expresión para la velocidad en función del tiempo para calcular

S(t)= $\int v dt$

Como queremos averiguar la velocidad a lo largo de una distancia específica, podemos utilizar esta ecuación para encontrar el tiempo en el que la partícula alcanza una determinada distancia estableciendo s(t) como un valor determinado, y resolviendo la ecuación para t

Definición de la inversa de s(t) que devuelve un tiempo para una distancia determinada $S^{-1}(s_{0})$

A continuación, podemos volver a introducir este valor del tiempo en nuestra ecuación original de la velocidad