Dejemos que $f\,\,$ sea una función continua sobre $[a,\infty)$ tal que $\int_a^\infty f(t)\,dt$ converge. Definir la función $F\,$ en $[a,\infty)$ con
$$F(x) := -\int_x^\infty f(t)\,dt \qquad\text{for all}\quad x\in[a,\infty).$$
¿Podemos deducir de algún modo -utilizando el teorema fundamental regular del cálculo- que $F\,\,$ es continua y diferenciable en $(a,\infty)$ y que $F\,\,'(x) = f(x)$ para todos $x\in(a,\infty)$ ? Si es así, ¿cómo? ¿Se pueden encontrar esas versiones "impropias" del teorema fundamental en algún libro que pueda consultar?
