Cómo demostrar para un grupo finito que $| \langle g \rangle|=o(g)$ ?

Question

Cómo demostrar para un grupo finito que $|\langle g \rangle|=o(g)$ ?

Realmente no sé cómo demostrar que esto es cierto traté de decir deja $o(g)=m$ y luego demostrar que $|\langle g \rangle|$ tiene exactamente $m$ elementos, pero ni siquiera estaba seguro de que lo hiciera porque contendría los elementos $g^0,...g^{m-1}$ así que eso significaría que es cierto, pero ¿qué pasa con $g^{-1}$ y los otros elementos con coeficientes negativos por lo que parece que en realidad sería mayor que $m$ ?

Gracias.

Answer 1

Definir $\varphi:\mathbb Z \to G$ $$\varphi(n)=g^n$$ entonces $$\langle g \rangle=im(\varphi)$$

Por definición, si $o(g)=m$ entonces $g^n=e$ y para cada $1\leq k < m\quad g^n \neq e$ .

Así que $$\ker\varphi=m\mathbb Z$$ Así, $$ \mathbb Z/m\mathbb Z\cong im(\varphi)= \langle g \rangle$$ y $$|\langle g \rangle| = |\mathbb Z/m\mathbb Z|=m=o(g)$$