Una función monótonamente creciente $g$ como medida.

Question

Tengo tres simples preguntas. Estoy trabajando con un problema en un antiguo examen de calificación, que me pide que exprese $\mu(E)$ explícitamente, dentro del ajustes .

Ajustes. Dejemos que $g:[0,1]\to \mathbb R$ sea una función monotónicamente creciente. Entonces podemos considerar $g$ como una medida regular positiva de Borel en $[0,1]$ de la siguiente manera.

Definir $\Lambda:C([0,1])\to \mathbb R$ por la integral de Riemann-Stieltjes $$ \Lambda f = \int_0^1 f dg. $$

Entonces $\Lambda$ es una función lineal acotada de norma $\le g(1)-g(0)$ . Esto puede demostrarse mediante $$ \left|\int_0^1 fdg\right| \le \int_0^1 \|f\|_\infty dg = \|f\|_\infty (g(1)-g(0)). $$ Así que por el teorema de representación de Riesz en $C_0([0,1])$ obtenemos una única medida regular de Borel $\mu$ tal que $$ \Lambda f = \int_0^1 fd\mu $$ para todos $f\in C([0,1])$ . De hecho, $\mu$ en este caso es una medida positiva.

El problema. Calcula $\mu([a,b])$ para un intervalo cerrado $[a,b] \subset [0,1]$ .

Mi respuesta. Dejemos que $E=[a,b]$ . Entonces $$ \mu(E) = \int_0^1 \chi_E d\mu = \int_0^1 \chi_E dg = g(b)-g(a). $$

La primera pregunta. ¿Es correcta mi respuesta?

El problema de la cualidad no se refiere a mi segunda y tercera pregunta, pero tengo curiosidad por generalizar el problema:

La segunda pregunta. Puedo decir en general, para una función de BV $g$ y un conjunto medible $E$ que $$ |\mu|(E) = \text{the total variation of $ g $ on the set $ E $}? $$ La medida $|\mu|$ denota, por supuesto, la medida de variación total de $\mu$ .

La tercera pregunta. Entonces, ¿qué es $\mu([a,b])$ ? Supongo que la respuesta es $$ g^{\wedge}(b)-g^\wedge (a) -g^\vee (b) + g^\vee(a),$$ donde $g^\wedge$ y $g^\vee$ son las únicas funciones monotónicamente crecientes tales que $g=g^\wedge - g^\vee$ pero no estoy seguro.

Answer 1

Debe prestar atención a la pregunta del examen NO supone que $g$ es continua a la derecha (o a la izquierda).

Su primera pregunta : Su respuesta es realmente errónea, exactamente porque no se supone que $g$ es continua a la derecha (o a la izquierda).

Contraejemplo: Dado cualquier $c \in [\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ . Sea $g_c$ se define por $g_c(x) = \frac{1}{2}x$ si $x\in [0, \frac{1}{2})$ , $g_c(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ si $x\in ( \frac{1}{2}, 1]$ y $g_c(\frac{1}{2})) =c$ .

Edificio $\mu$ como se describe en el examen cualitativo, todos aquellos $g_c$ producirá el mismo $\mu$ . Por lo tanto, está claro que no es posible que $\mu([a,b]) = g_c(b)-g_c(a)$ porque entonces tendríamos $$\mu \left(\left[0, \frac{1}{2} \right] \right) = g_c\left( \frac{1}{2} \right) - g_c(0) = c$$ que no tiene sentido porque $\mu$ no depende de $c$ .

Ahora, ¿qué paso de tu respuesta falla?
La igualdad $\int_0^1 f d\mu = \int_0^1 f dg$ sólo es válida para $f\in C([0,1])$ y $\chi_E \notin C([0,1])$ .

¿Cuál es la respuesta correcta? Aproximadamente $\chi_E$ desde arriba por funciones continuas y obtenemos $$ \mu([a,b]) = \lim_{x\to b^+} g(x) - \lim_{x\to a^-} g(x)$$

Tenga en cuenta que, como $g$ es una función monotónicamente creciente, los límites laterales existen.

Nota: : También es interesante señalar que, también podemos demostrar que $$ \mu((a,b]) = \lim_{x\to b^+} g(x) - \lim_{x\to a^+} g(x)$$

Podemos definir $G(x)= \lim_{y\to x^+} g(y)$ . Podemos demostrar que $G$ es una función monótona creciente a la derecha y, utilizando la construcción en el examen cualitativo, que $G$ y $g$ produce lo mismo $\mu$ . Así que, en realidad, podemos reemplazar $g$ por $G$ . En este caso, obtenemos: $$ \mu((a,b]) = G(b) - G(a)$$ y $$ \mu([a,b]) = G(b) - \lim_{x\to a^-} G(x)$$

Su segunda pregunta : Sí, eso es correcto. Esbozo de la prueba: Dado que $g$ una función BV, sea $g^\wedge$ y $g^\vee$ son las únicas funciones monotónicamente crecientes tales que $g=g^\wedge - g^\vee$ . Desde $g^\wedge$ y $g^\vee$ construir la función continua monótona de la derecha $H$ y $K$ . Demostrar que $H$ y $K$ son la función BV. Definir $G=H-K$ . Tenga en cuenta que $G$ es la función BV. La construcción en qual exam funciona para las funciones BV y $g$ y $G$ producirá lo mismo $\mu$ . Además, dado cualquier conjunto medible $E$ la variación total de $G$ en $E$ (se denota $TV(G,E)$ ) es igual a la variación total de $g$ en $E$ (se denota $TV(g,E)$ ). Entonces, a partir de un resultado bien conocido en la Teoría de la Medida, sabemos que $|\mu|(E) = TV(G,E)$ , por lo que obtenemos $|\mu|(E) = TV(G,E)= TV(g,E)$ .

Su tercera pregunta : Aunque $g$ es BV, el resultado NO es correcto. Véase el contraejemplo en la respuesta a la primera pregunta.

De forma similar a la primera pregunta, podemos demostrar que, si $g$ es una función BV,

$$\mu([a,b]) = \lim_{x\to b^+} g^{\wedge}(x)-\lim_{x\to a^-}g^\wedge (x) - \lim_{x\to b^+} g^\vee (x) + \lim_{x\to a^-}g^\vee(x),$$ donde $g^\wedge$ y $g^\vee$ son las únicas funciones monotónicamente crecientes tales que $g=g^\wedge - g^\vee$ .