Módulo plano, no divisible, no proyectivo, de generación no infinita, sobre un anillo polinómico

Question

(1) Que $R=k[x_1,\ldots,x_n]$ . Deseo encontrar un ejemplo de una situación no generada infinitamente, no divisible, no proyectiva, plana $R$ -módulo. Obsérvese que $k(x_1,\ldots,x_n)$ NO es un ejemplo de lo que estoy buscando, ya que es divisible .

(2) De forma más general, la misma pregunta pero ahora con $R=$ cualquier dominio integral.

• Por favor, lea mi pregunta anterior lo que me motivó a hacer la pregunta actual.

Answer 1

Dejemos que $R=k[x]$ y $M=k[x^{\pm1}]$ visto como un $R$ -en la forma obvia. Se puede comprobar fácilmente que no está generado finitamente, que no es divisible y que es plano porque es una localización. Para comprobar que no es proyectivo, consideremos el mapa $\phi:\bigoplus_{n\in\mathbb Z}Re_n\to M$ de la libre $R$ -módulo con base $\{e_n:n\in\mathbb Z\}$ a $M$ tal que $\phi(e_n)=x^n$ para todos los enteros $n$ . El mapa es claramenteu suryectivo. Si $M$ fuera proyectiva, habría una sección $s:M\to \bigoplus_{n\in\mathbb Z}Re_n$ y en particular un homomorfismo inyectivo. Ahora la imagen de $1\in M$ en $s$ tiene que ser infinitamente divisible por $x$ y no hay tales elementos en el módulo libre.

Se puede hacer exactamente lo mismo con más variables.