Teorema de convergencia dominante

Question

Dé un ejemplo de una secuencia $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ de funciones integrables en $\mathbb{R}$ tal que $f_n \to f$ pero $\int f_n \not\to \int f$ . Explique por qué su ejemplo no entra en conflicto con el Teorema de Convergencia Dominante.

Observo que la desigualdad $|f_n(x)| \le g(x)$ , donde $g$ es una función integrable sobre $\mathbb{R}$ no aparece en este problema. Así que la función no necesita ser dominada por una función integrable. Pero esto se requiere como una hipótesis del Teorema de Convergencia Dominada; por lo tanto, el ejemplo no entrará en conflicto.

Si este es un razonamiento sólido, ¿cómo puedo conseguir funciones que no estén dominadas por otra función? Inicialmente estaba pensando en $f_n(x)=x \sin (nx)$ porque su $\lim \sup$ es $\infty$ pero aún así, tenemos $|f_n(x)| \le |x| =: g(x)$ .

Answer 1

Consideremos la secuencia de funciones sobre $(0,1)$ $$f_n(x) = \begin{cases} n & \text{ if } x \in (0,1/n)\\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$$ Tenemos $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 = f(x)$ . Sin embargo, $$\lim_{n \to \infty} \int_0^1f_n(x)dx = 1 \neq 0 = \int_0^1 f(x) dx$$ La clave en el teorema de convergencia dominada es que la secuencia de funciones $f_n(x)$ debe estar dominada por una función $g(x)$ que también es integrable.

Answer 2

Me gustaría proporcionar un marco ligeramente más abstracto para ilustrar esta "pérdida de compacidad" $^{[2]}$ fenómeno. El escenario funcional es el $L^1(\mathbb{R})$ espacio: \begin{equation} L^1(\mathbb{R})=\left\{f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ :\ \int_{-\infty}^\infty \lvert f(x)\rvert\, dx<\infty \right\},\qquad \lVert f\rVert=\lVert f\rVert_{L^1}=\int_{-\infty}^\infty\lvert f(x)\rvert\, dx. \end{equation} Aquí tomamos una secuencia acotada $f_n$ que converge puntualmente a.e. : \begin{equation} \begin{array}{cc} \|f_n\|\le C, & f_n\to f\, \text{a.e.} \end{array} \end{equation} La pregunta es: ¿converge esta secuencia, es decir, es cierto que \begin{equation} \lVert f_n-f\rVert\to 0?^{[1]\ [2]} \end{equation} Esto haría una propiedad muy deseable de nuestro espacio funcional. Sin embargo, como muestran claramente otras respuestas, la respuesta es negativa en general. El problema es que nuestro espacio está sujeto a la acción de grupos no compactos de isometrías . A saber, se tiene la acción del grupo de traducción \begin{equation} \begin{array}{cc} \left(T_\lambda f\right)(x)=f(x-\lambda), &\lambda \in (\mathbb{R}, +) \end{array} \end{equation} y del grupo de dilatación \begin{equation} \begin{array}{cc} \left(D_\lambda f\right)(x)=\frac{1}{\lambda}f\left(\frac{x}{\lambda}\right), &\lambda \in (\mathbb{R_{>0}}, \cdot) \end{array} \end{equation} La fórmula de cambio de variable para las integrales muestra inmediatamente que esas acciones de grupo son isométricas, es decir, preservan la norma.

Así, fijando una función no evanescente $f\in L^1(\mathbb{R})$ sus órbitas $T_\lambda f$ y $D_\lambda f$ forman subconjuntos acotados y no compactos de $L^1(\mathbb{R})$ . En particular, dejar que $\lambda \to +\infty$ (o $\lambda \to -\infty$ para las traducciones, o $\lambda\to 0$ para las dilataciones), se encuentran contraejemplos a la pregunta anterior. (Nótese que, más o menos, todos los ejemplos construidos en las otras, excelentes, respuestas se construyen de esta manera).

En la jerga técnica se dice que los grupos de traslación y dilatación introducen un defecto de compacidad en $L^1(\mathbb{R})$ espacio. Esta es la terminología de la Concentración-Compactación teoría (la página enlazada es una entrada del blog de T. Tao, pero la teoría ha sido fundada por P.L. Lions ). El teorema de convergencia dominada puede considerarse, por tanto, como un dispositivo que impide que se produzca el defecto de compacidad.

---

Notas a pie de página

$^{[1]}$ El PO sólo pregunta por la convergencia de las integrales: $\int f_n\to \int f$ . Ahora un teorema estándar (cfr. Lieb & Loss Análisis El teorema 1.9 (Término que falta en el lema de Fatou), ver en los comentarios) nos da la equivalencia \begin{equation} \begin{array}{ccc} \lVert f_n\rVert_{L^1} \to \lVert f\rVert_{L^1} & \iff & \lVert f_n-f\rVert_{L^1}, \end{array} \end{equation} Por lo tanto, al menos para la secuencia de funciones positivas para las que $\int f_n=\lVert f_n\rVert_{L^1}$ El fracaso de la convergencia para las secuencias de integrales es exactamente lo mismo que el fracaso de la convergencia en $L^1$ espacio. Por eso se puede ver el fenómeno en este entorno analítico funcional.

$^{[2]}$ Compactación suele significar que las secuencias acotadas tienen subsecuencias convergentes. En $L^1(\mathbb{R})$ espacio, las secuencias convergentes puntualmente son compactas si y sólo si son convergentes por norma.

Answer 3

No se trata sólo de ser dominado por cualquier función $g$ sino por una función integrable. $|x|$ no es integrable en $\mathbb{R}$ , como $\int_{-\infty}^\infty |x| dx = \infty$ .

copper.hat proporcionó un ejemplo que no está dominado por ninguna función, pero también se pueden escoger ejemplos acotados, como $f_n = 1_{[n,n+1]}$ .

Answer 4

Dejemos que $$f_n(x) = \frac{n^3x^2}{1+n^4x^4}.$$ Entonces $f_n(x) \to 0$ en todas partes, y $\int_\infty^\infty f_n(x)\,dx = \int_\infty^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx$ por cada $n.$

Answer 5

Dejemos que $f_n = \chi[n,2n]$ entonces para cualquier $x \in \mathbb R$

$$\lim_{n \to \infty} f_n (x) = 0 \,\,\, \text{and} \,\,\, \int_{x\in \mathbb R} f_n(x) dx = n \to \infty \,\,\, \text{as}\,\, n \to \infty$$

Por otro lado, tomar $f(x) = 0 , \forall x \in \mathbb R$ tenemos $$\int_{x\in \mathbb R} f(x) dx = \int _{x\in \mathbb R} 0\,\, dx = 0$$ entonces

$$\int_{x\in \mathbb R} f_n(x) dx \not \to \int_{x\in \mathbb R} f(x) dx$$