fórmula explícita de la relación de recurrencia $a_{n+1}=2a_n+ \frac {1}{a_n}$

Question

Para $n \in\mathbb N$ , $$a_{n+1}=2a_n+ \frac {1}{a_n}, \quad a_1=1. $$ ¿Puede alguien dar una fórmula explícita para todos $a_n$ ? Si no existe una fórmula general tan explícita, por favor explíquela. He tratado de averiguar la $n$ -función de la función de la luz $f^{(n)}$ donde $f(x)=2x+1/x$ o incluso $f( \tan (t))$ . Pero en ambos casos, fallé. Como la recurrencia no es lineal ni homogénea, el método de la función generadora no se aplica aquí.

Answer 1

Podemos transformar esta ecuación en $$\dfrac{b_{n+1}}{2}=b_n+\dfrac1{b_n}$$ sustituyendo $b_n=\sqrt2a_n.$
Tenga en cuenta que $$b_{n+1}-4=\dfrac{2}{b_n}(b_n-1)^2$$ et $$b_{n+1}+4=\dfrac{2}{b_n}(b_n+1)^2$$ Ahora $$\dfrac{b_{n+1}/4-1}{b_{n+1}/4+1}=\left(\dfrac{b_n-1}{b_n+1}\right)^2$$ Continuando con este proceso podemos obtener $$\dfrac{b_{n+1}/4-1}{b_{n+1}/4+1}=\left(\dfrac{b_n-1}{b_n+1}\right)^2=\left(\dfrac{4b_{n-1}-1}{4b_{n-1}+1}\right)^{2^2}=\left(\dfrac{4^2b_{n-2}-1}{4^2b_{n-2}+1}\right)^{2^3}=\cdots=\left(\dfrac{4^{n-1}b_{1}-1}{4^{n-1}b_{1}+1}\right)^{2^n}$$ Puede obtener $b_{n+1}$ y por lo tanto $a_n$ de aquí. $$b_{n+1}=4\left(\dfrac{1+\left(\dfrac{4^{n-1}b_{1}-1}{4^{n-1}b_{1}+1}\right)^{2^n}}{1-\left(\dfrac{4^{n-1}b_{1}-1}{4^{n-1}b_{1}+1}\right)^{2^n}}\right).$$ Por lo tanto, $$a_n=2\sqrt2\left(\dfrac{1+\left(\dfrac{4^{n-2}\sqrt2-1}{4^{n-2}\sqrt2+1}\right)^{2^{n-1}}}{1-\left(\dfrac{4^{n-2}\sqrt2-1}{4^{n-2}\sqrt2+1}\right)^{2^{n-1}}}\right).$$

Answer 2

Reescribe tu expresión para obtener $$a_{n+1}-{a_n}=a_n+\frac{1}{a_n}$$

La mano izquierda es la secuencia de diferencia habitual. Estamos entonces motivados a mirar la ecuación diferencial $$y'=y+\frac 1y$$ Que tiene la solución general $$y=\sqrt{\lambda e^{2x}-1}$$ . Por supuesto, $e$ es el resultado de una operación continua... está claro que para su secuencia $\frac{a_{n+1}}{a^n}\rightarrow 2$ por lo que esperamos que $$a_n\sim \sqrt{\lambda2^{2x}-1}$$ Un pequeño cálculo muestra que nos va bastante bien con $\lambda \sim 1.29534632$ (Estoy viendo un ajuste muy cercano).

Answer 3

Toma la recurrencia, y cuadra:

$$ a^2_{n + 1} = 4 a^2_n + 4 + \frac{1}{a^2_n} $$

Sabemos que $a_n \to \infty$ , por lo que como primera aproximación se tiene para $b_n = a^2_n$ :

$$ b_{n + 1} = 4 b_n + 4 $$

Para $b_0 = 1$ este tiene solución:

$$ b_n = (n + 4) \cdot 4^{n - 1} $$

Así que $a_n \sim 2^{n - 1} \sqrt{n}$ . Reemplazar esto en la recurrencia permitiría obtener una asintótica más ajustada.

Answer 4

La fórmula de recursión es $A_{n+1}= 2A_n+ \frac{1}{A_n}$ . Suponiendo por el momento que este hace convergen a "A" entonces, tomando el límite de ambos lados, a medida que n va al infinito, tenemos $A= 2A+ \frac{1}{A}$ o $A+ \frac{1}{A}= 0$ .

Multiplicando por A, $A^2+ 1= 0$ . Como el límite, si existe, tendría que ser real, hay sin límite .