Para cada matriz $A\in M_{2}( \mathbb{C}) $ hay $X\in M_{2}( \mathbb{C})$ tal que $X^2=A$ ?

Question

Verdadero \False ?

Para cada matriz $A\in M_{2}( \mathbb{C}) $ hay $X\in M_{2}( \mathbb{C})$ tal que $X^2=A$ .

Sé que toda matriz acomplejada tiene una matriz de forma Jordan $J$ tal que $P^{-1}CP=J$ Pero seguro que no es diagonalizable.

Gracias

Answer 1

El $2$ -por- $2$ Las matrices sin raíces cuadradas son precisamente las que tienen la forma de Jordan $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ . En general, cada bloque de Jordan correspondiente al valor propio $0$ tiene que tener tamaño $1$ para que exista una raíz cuadrada. @Did indica una forma elegante de ver esto en un comentario.

El El artículo de Wikipedia sobre las funciones matriciales indica cómo se pueden aplicar las funciones a los bloques de Jordan siempre que se definan derivadas de orden suficientemente alto en los valores propios, y esto incluye las funciones de raíz cuadrada. Para más detalles, una magnífica referencia es la obra de Higham Funciones de las matrices: teoría y cálculo . En particular, una condición suficiente para la existencia de raíces cuadradas es que cada bloque de Jordan correspondiente al valor propio $0$ tiene tamaño $1$ .

Gracias a Marc por señalar los errores de la versión antigua. Véase su respuesta .

Answer 2

Tal y como me recomendaron , he averiguado la respuesta, con la ayuda de @Did y @JonasMeyer y aquí está mi explicación completa.

Si A es diagonalizable, no hay nada que demostrar, porque estamos bajo $\mathbb C$ Así que $X$ serán simplemente las raíces de los valores propios de A en la diagonal.

Supongamos que A no es diagonalizable, sabemos que toda matriz bajo $\mathbb C$ tiene una forma de Jordan, por lo que una de las formas de Jordan que viene a la cabeza es esta matriz nilpotente : $A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ . Supongamos que hay $X$ para que $X^2=A$ y $A^2=0$ Así que $X^4=0$ Así que $X$ también es nilpotente, pero no puede ser $0$ , por lo que tiene que implicar $X^2=0$ Pero $X^2=0\neq A$ , Contradicción.

Así que encontramos una matriz que no tiene tal $X$ .

Answer 3

Esta respuesta es sólo para indicar que en la respuesta de Jonas Meyer la segunda frase "En general..." no es correcta: $$\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\0&1&0\end{matrix}\right)^2=\left(\begin{matrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right).$$ Lo mencioné en un comentario, pero las matrices no se escriben correctamente en un comentario.

Ahora que estoy escribiendo una respuesta de todos modos, voy a añadir que para cualquier otro $2\times2$ matriz no diagonalizable, que se puede escribir como $\lambda(I_2+N)$ con $\lambda\neq0$ y $N^2=0$ se puede obtener explícitamente una raíz cuadrada $\sqrt\lambda(I_2+\frac12N)$ , donde $\sqrt\lambda$ es una de las dos raíces cuadradas complejas de $~\lambda$ . Ver esta respuesta para el caso general de las raíces cuadradas del cuadrado complejo $n\times n$ matrices.