Solución máxima (ODE) de $x' = x^2 - t^2$

Question

$\DeclareMathOperator{\dom}{dom}$ Dejemos que $\gamma(t)$ sea la solución máxima de la ecuación diferencial $x' = x^2 - t^2$ con la condición inicial $\gamma(0) = 0$ . Demostrar que $\gamma(t) \leq |t|$ para cualquier $t \in \dom(\gamma)$ y concluir que $\dom(\gamma) = \mathbb{R}$ .

Intento: Suponiendo que $\gamma(t) \leq |t|$ para cualquier $t \in \dom(\gamma)$ pude llegar a la conclusión de que $\dom(\gamma) = \mathbb{R}$ utilizando el hecho de que $\gamma (t)$ es una solución máxima.

Además, tenga en cuenta que $(x^2 - t^2)' = 2x(x^2 - t^2) - 2t$ . Traté de analizar para $t\geq 0$ y $t<0$ pero no hay mucho que pueda inferir sobre $(x^2 - t^2)'$ ya que no conozco el signo de $x$ . ¿Hay alguna manipulación algebraica que pueda ser útil para proceder con esta idea?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}\DeclareMathOperator{\dom}{dom}$ Supongamos que $x(t_0) > t_0$ para algunos $t_0 \in \dom(x) \cap (0, +∞)$ y definir $t_1 = \inf\{t > 0 \mid x(t) > t\}$ . Tenga en cuenta que $x'(0) = (x(0))^2 = 0$ por lo que la definición de $x'(0)$ implica que $|x(t)| < t$ en un barrio de $0$ y por lo tanto $t_1 > 0$ . La definición de infimo implica que existe una secuencia $\{s_n\} \subseteq (t_1, +∞)$ con $s_n \searrow t_1$ como $n → ∞$ y $x(s_n) > s_n$ para todos $n$ . Por lo tanto, la continuidad de $x$ muestra que $x(t_1) \geqslant t_1$ . Pero si $x(t_1) > t_1$ entonces $x(t) > t$ para $t$ en un barrio de $t_1$ lo cual es contradictorio con la definición de $t_1$ . Así que $x(t_1) = t_1$ y $$ x'(t_1) = \lim_{t → t_1} \frac{x(t) - x(t_1)}{t - t_1} = \lim_{n → ∞} \frac{x(s_n) - x(t_1)}{s_n - t_1} \geqslant 1, $$ lo cual es contradictorio con el hecho de que $x'(t_1) = (x(t_1))^2 - t_1^2 = 0$ . Por lo tanto, $x(t) \leqslant t$ para $t \in \dom(x) \cap (0, +∞)$ . Análogamente se puede demostrar que $x(t) \geqslant -t$ para $t \in \dom(x) \cap (0, +∞)$ y $|x(t)| \leqslant -t$ para $t \in \dom(x) \cap (-∞, 0)$ .