¿Qué pasará después de la Transformada de Laplace?

Question

Consideremos la transformada de Laplace $\int_{0}^{\infty} e^{-px}f(x)\,dx$
Supongamos que $f(x)=1$ entonces la transformada de Laplace es $\frac {1}{p}$ .
Supongamos que $f(x)=x$ entonces la transformada de Laplace es $\frac {1}{p^2}$ .
La pregunta es: ¿qué pasará con el $f(x)$ después de ser transformado?
¿Por qué hay que transformar la función y qué aspecto de la función inicial permanecerá en la transformada de Laplace que lo hace tan importante?
¡Si alguien puede dar una intuición geométrica de la misma, será un plus!
Gracias

Answer 1

La transformada de Laplace ${\cal L}$ se aplica únicamente a funciones conocidas o desconocidas que se definen explícita o implícitamente en términos de "fórmulas analíticas" . ¿Qué hace que ${\cal L}$ útiles son solo su formal propiedades algebraicas, codificadas en ciertas reglas de manipulación de términos. Un ingrediente central de la filosofía de Laplace es Teorema de Lerch que dice que ${\cal L}$ es inyectiva. Así, cuando se ha encontrado una solución $s\mapsto Y(s)$ en el espacio de transformación basta con buscar la función única $t\mapsto y(t)$ cuya transformación es $Y$ en un catálogo adecuado.

No espere un "contenido intuitivo" codificado en ${\cal L}f$ . Nadie ha mirado nunca el gráfico de un ${\cal L}f$ o ha calculado ${\cal L}f$ para un $f$ que sólo se define por un conjunto de datos. Esto contrasta con la transformada de Fourier: Por supuesto, trabajamos con ella todo el tiempo en discusiones teóricas, pero aparte de eso la transformada de Fourier $\hat f$ de una señal de tiempo $f$ transmite una interesante "información intuitiva" sobre $f$ y la gente está transformando de Fourier señales de tiempo muestreadas discretamente todo el tiempo.

Answer 2

Una de las principales ventajas reside en el hecho de que muchas ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas cuando se aplica la transformada de Laplace. A continuación, podemos resolver las ecuaciones algebraicas y tomar la transformada de Laplace inversa (la transformada es uno a uno y, por tanto, tiene una inversa) para llegar a la solución de la ecuación diferencial.

Para ver cómo se relaciona la transformada con las series infinitas y otras conexiones, véase http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Relation_to_power_series