El significado de la igualdad en una expansión de base ortogonal completa de $L^2$ y la igualdad puntual.

Question

Dado un elemento $u\in L^2(0,1)$ y una base ortonormal completa $(e_n)_n$ tenemos la convergencia de la serie de Fourier-Bessel

$$ u_m= \sum^m_{n=0}\langle u,e_n\rangle e_n \to \sum^\infty_{n=0}\langle u,e_n\rangle e_n $$

en $L^2(0,1)$ . En particular, sabemos que $||u-u_m|| \to 0$ como $m\to\infty$ Y lo que es más, ya que la base $(e_n)_n$ es máxima, podemos demostrar que $||u-\sum^\infty_{n=0}\langle u,e_n\rangle e_n||=0$ .

Por lo tanto, creo que la igualdad $u=\sum^\infty_{n=0}\langle u,e_n\rangle e_n$ equivale a lo siguiente:

$$ u(x)=\sum^\infty_{n=0}\langle u,e_n\rangle e_n(x) \quad \text{for almost all } x\in(0,1) \tag1 $$

lo que tendría sentido ya que $L^2(0,1)$ es en realidad el conjunto de clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables que difieren hasta un conjunto de medida cero.

¿Es esto cierto?

En caso afirmativo, ¿significa esto que la RHS de (1) converge puntualmente a.e. en $(0,1)$ ?

En caso afirmativo, ¿es posible sustituir $(e_n)_n$ con funciones cuadradas integrables $(\phi_n)_n$ tal que $[e_n]=[\phi_n]$ (es decir, para que sean iguales en $L^2(0,1)$ ) y tenemos la igualdad puntual

$$ u(x)=\sum^\infty_{n=0}\langle u,e_n\rangle \phi_n(x) \quad \text{for all } x\in(0,1)\tag2 $$ y si es así, ¿es posible construir explícitamente dicha secuencia $(\phi_n)_n$ ?

Se agradecería la ayuda para responder a cualquiera de las preguntas anteriores.

Answer 1

Cuando se escribe una serie infinita, siempre se asume implícitamente en qué sentido converge la serie. En el caso de la serie que escribiste, se asume implícitamente que la serie converge en $L^2$ Y en general, $L^2$ la convergencia no implica la convergencia a.e.

Ahora bien, este caso (serie de Fourier-Bessel) no es el caso más general de $L^2$ convergencia, por lo que en principio se podría esperar tener convergencia a.e. De hecho, puede ocurrir que para alguna base completa se tenga de hecho convergencia a.e. Un ejemplo muy famoso es el de las series de Fourier, véase Teorema de Carleson .

Para bases ortonormales más generales, creo que la convergencia a.e. no es cierta en general (supongo simplemente porque el teorema de Carleson sería trivial en ese punto del $L^2$ caso). Tal vez podrías intentar encontrar un contraejemplo tú mismo.

Para responder a la última pregunta, hay que tener en cuenta que a.e. la convergencia de una secuencia (contable) de $L^2$ no depende de los representantes que se puedan elegir en las clases de equivalencia (simplemente porque una unión contable de conjuntos de medida cero sigue teniendo medida cero). Por tanto, aunque se modifique la base con funciones que concuerden a.e., no se puede obtener la convergencia a.e. con la nueva base $(\phi_n)_n$ si no tiene convergencia a.e. con la base original $(e_n)_n$ en primer lugar.