Cuándo utilizar el Teorema Central del Límite o el Teorema de Cramers

Question

En, por ejemplo este documento los autores dicen

El teorema del límite central proporciona una estimación de la probabilidad \begin{align} P\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} > x \right) \end{align} ... el CLT estima la probabilidad de $O(\sqrt{n})$ desviaciones de la media de la suma de variables aleatorias ... Por otro lado, las grandes desviaciones del orden de la propia media, es decir, $O(n)$ desviaciones, es el tema de esta sección [Teorema de Cramer-Chernoff].

No me queda claro por qué no se puede utilizar el CTL para calcular grandes desviaciones. Siguiendo la respuesta de mi pregunta anterior para grandes $n$ El CTL me dice que la media se distribuye aproximadamente de forma normal como $$P\left(|\sum_{i=1}^n X_i - n\mu| \geq x\right) \approx 2\Phi\left(-\frac{x \sqrt{n}}{\sigma}\right)$$

¿Por qué (y en qué casos) se debe utilizar el teorema de Cramers si $x$ es grande y no el CTL?

Answer 1

La desviación grande le da una estimación de las probabilidades en el régimen no típico, mientras que el CLT le da una estimación de las probabilidades en el régimen típico. Supongamos que $X_i$ tienen varianza finita y son a.s. positivos. Entonces CLT da, $$ |P(\frac{\sum_i X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \ge x) - \Phi(-x)| \to 0. $$ Pero CLT no dice nada si se deja $x$ crecer con $n$ también. Digamos que quiere saber $P(\sum_i X_i - n\mu >\mu n)$ y $X_i$ son todos positivos a.s. Entonces reemplazando $x$ por $\sqrt{n} \mu/\sigma$ le daría una aproximación de esta probabilidad como $e^{-cn}$ de algunos $c>0$ . Pero esto no sería correcto. Digamos, $X_i$ tienen una cola muy pesada, $P(X_i > n) \ge n^{-4}$ . Entonces, si $X_1 >2n\mu$ entonces $\sum_{i \le n}X_i > 2n\mu$ y por lo tanto $$ P(|\sum_{i \le n}X_i - n\mu| > n\mu) \ge P(\sum_{i \le n}X_i > 2n\mu) \ge P(X_1 > 2n\mu) \ge (2n\mu)^{-4} $$ y no se obtiene un límite exponencial, sino un límite polinómico.