Interesante forma de calcular el volumen del sólido de revolución, ¿es una coincidencia?

Question

La pregunta era:

Encontrar el volumen $V$ obtenida mediante la rotación de la región delimitada por $y = 5x - x^2$ y $y = x^2-5x+8$ sobre el $y$ -eje.

Primero resolví este problema utilizando el método de la cáscara, y obtuve una respuesta de $45\pi$ . Quería intentar resolver el problema de otra manera, así que empecé por encontrar el área de la región delimitada por las dos curvas. Esta área es 9:

Entonces, me di cuenta de que si encontramos la circunferencia del círculo alrededor del $y$ -que pasa por el centro de la región, y lo multiplicamos por el área de la región, obtenemos la misma respuesta que antes. El centro se encuentra en $x=2.5$ por lo que la circunferencia del círculo es $5\pi$ y $$5\pi \cdot 9 = 45\pi\,.$$ ¿Funciona esto siempre para problemas como éste, y si es así, por qué?

Answer 1

Tenemos que

$$V=\int_a^b 2\pi xf(x) dx=2\pi \int_a^b f(x) dx\cdot \frac{\int_a^b xf(x) dx}{\int_a^b f(x) dx}=2\pi A x_G$$

que se conoce como Teorema del centro de Pappus .

Answer 2

El centro de masa se puede encontrar como $$ x_C = \frac1{A}\int_A x\,dA $$

Al multiplicar el área por la circunferencia, se obtiene: $$ V = 2\pi x_C A = \int_A 2\pi x\,dA $$

Pero $dV = 2\pi x\,dA$ es un volumen de aro fino. Así que básicamente la última integral es un método de aros. (La cáscara es la pila de aros en dirección vertical). Por lo tanto, el método es legítimo.