Así que si hay $n$ asientos, la probabilidad del último $k$ los pasajeros tomarán sus propios asientos es $P(n,k)$ .
Cuando el primer pasajero toma su asiento al azar, hay tres situaciones posibles.
1) toma sus propios asientos con probabilidad $1/n$
2) toma los asientos pertenece a uno de los últimos $k$ pasajeros con probabilidad $k/n$
3) toma los asientos de los $m$ con la probabilidad de que el pasajero $1/n$ para cada $m$ .
En el caso 1, entonces cada uno toma su propio asiento de forma natural. En el caso 2, entonces es imposible que el último $k$ los pasajeros siguen ocupando todos sus asientos. En el caso 3, todos antes de $m$ Los pasajeros toman sus asientos de forma natural. $m$ el pasajero tiene que elegir al azar un asiento de $n-m+1$ asientos y el asiento asignado al primer pasajero puede verse como su nuevo asiento asignado. Por tanto, la probabilidad del último $k$ los pasajeros toman sus propios asientos es $P(n-m+1,k)$ .
En resumen $$P(n,k)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{m=2}^{n-k} P(n-m+1,k)$$ Se transforma fácilmente en $$ Q(n,k)=\frac{1}{n}\sum_{m=2}^{n-k} Q(n-m+1,k), \quad \text{where } Q(n,k)\equiv P(n,k)-\frac{1}{k+1} $$
Para cada $k$ es fácil ver que $P(n=k+1,k)=1/(k+1)$ . Así que $Q(n,k)=0$ para cualquier $n\ge k$ . Así que $$P(n\ge k,k)=\frac{1}{k+1}$$
Así que en su problema, $n=100, k=2$ la respuesta sería 1/3.
En este problema similar , $n=100, k=1$ la respuesta sería 1/2.
