Halla el volumen de un sólido revuelto integrando cuñas.

Question

Entonces, digamos que quiero encontrar el volumen del sólido formado por la rotación del área entre
$f(x)=\sqrt{1-x^2}, 0<x<1$ y el $x$ eje alrededor del $y$ eje. (Este ejemplo es simplemente una semiesfera).

Ahora bien, normalmente utilizaría la geometría, o el "método del disco", por lo que el área sería simplemente $\pi\int_0^1(1-y^2)dy=\frac{2\pi}{3}$ .

Estaba pensando en esto y me preguntaba si sería posible encontrar la respuesta integrando cuñas de este volumen de $0$ a $2\pi$ . Este parece ser un enfoque que se asemeja más a la premisa del problema. Al principio pensé que esto podría ser tan fácil como $\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}[\int_0^1f(x)dx]^2d\theta$ , integrando esencialmente un círculo polar con radio del área que gira alrededor del eje y. Sin embargo, cuando probé esto, no obtuve la respuesta esperada. He calculado que el volumen es $\frac{\pi^3}{16}$ Sin embargo, debería haber encontrado el volumen $\frac{2\pi}{3}$ .

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué mi enfoque no tuvo éxito, y también explicar un método exitoso para evaluar el volumen de esta manera?

Answer 1

Ciertamente se puede integrar usando cuñas en lugar de discos, pero lo que has escrito no se corresponde con las cuñas. Una cosa que puedes comprobar para ver que esto no puede ser correcto son las dimensiones: tu expresión tiene dimensiones de longitud a la cuarta potencia mientras que un volumen tiene longitud a la tercera. No es del todo sorprendente que digas "con el radio del área" - no tiene sentido utilizar un área como radio (al menos no habitualmente :-).

En una cuña con extensión angular $\mathrm d\theta$ , una zona $\mathrm dS$ del cuarto de círculo girado contribuye $x\mathrm dS\mathrm d\theta$ al volumen de la cuña, por lo que el volumen es

$$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\left[\int x\mathrm dS\right]\mathrm d\theta &=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^1xf(x)\mathrm dx\right]\mathrm d\theta \\ &=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx\right]\mathrm d\theta \\ &=\int_0^{2\pi}\left[-\frac13\sqrt{1-x^2}^3\mathrm dx\right]_0^1\mathrm d\theta \\ &=\frac{2\pi}3 \end{align} $$

como se esperaba.