polinomios con máximos-minimos similares

Question

Supongamos que $p$ y $q$ son polinomios homogéneos de grado d de n variables. Definir $ |p|_{\infty}= \max_{x \in S^{n-1}} |p(x)|$ $D(p)=\{ x \in S^{n-1} : p(x)= |p|_{\infty} \}$
$E(p)=\{x \in S^{n-1} : p(x)= -|p|_{\infty} \}$

Definir $D(q)$ y $E(q)$ de forma similar. Ahora supongamos $ D(p) \cup E(p) = D(q) \cup E(q) $ ¿Qué tipo de relación podemos deducir entre $p$ y $q$ por esta suposición?

Answer 1

Creo que un poco de computación alrededor muestra que $(x^6+y^6)^5$ y $(x^{10}+y^{10})^3$ o $x^{12}+y^{12}$ y $(x^4+y^4)^3$ para el caso, tienen el mismo conjunto de extremos. Así que no puede haber una relación algebraica entre $p$ y $q$ de la celebración en general.