Campo de función $F/K$ entonces $\exists$ un divisor $A$ con $\deg(A)=g$ y $\ell(A)=1$

Question

Este es el ejercicio 1.15 del libro de Stichtenoth Campos de funciones algebraicas y códigos :

Supongamos que el campo constante $K$ es algebraicamente cerrado. Demuestre que para todo número entero $d\geq g$ existe un divisor $A\in\text{Div}(F)$ con $\deg(A) = d$ y $\ell(A) = \deg(A) + 1 g$ .

El caso $g=0$ es fácil.

Para $g>0$ sólo tenemos que considerar el caso $d=g$ ya que si $g=\deg(A)-\ell(A)+1$ para $\deg(A)=g$ entonces $g=\deg(A+kP)-\ell(A+kP)+1$ por cada $k\geq 1$ donde $P$ es cualquier lugar. Desde $\overline{K}=K$ Hay un poco de $P$ con grado $1$ Así que $\deg(A+kP)=g+k$ puede asumir cualquier valor $\geq g$ .

Estoy tratando de ver si $A=gP$ funciona. Si lo hace, debemos tener $\ell(A)=g+1-g=1$ . En particular, $\mathscr{L}(P)=\mathscr{L}(2P)=...=\mathscr{L}(gP)=K$ para que todos los huecos de $P$ son exactamente $1,2,...,g$ .

[Aquí, " $k$ es un hueco" significa que no hay $z\in F$ con $(z)_\infty=kP$ ].

Esto está de acuerdo con el teorema de la brecha de Weierstrass, que dice $P$ tiene exactamente $g$ lagunas $1=i_1<i_2<...<i_g\leq 2g-1$ . Pero, ¿cómo puedo probar $i_1=1,i_2=2,...,i_g=g$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que cada lugar de $K$ tiene grado uno. Sea $D$ sea un divisor con $\deg(D)\ge g+1$ para que $\ell(D)\ge2$ . Para un elemento no nulo $x\in\mathscr L(D)$ existe un lugar $P$ tal que $v_P(x)=v_P(D)=0$ ya que hay infinitos lugares. Entonces $x\notin\mathscr L(D-P)$ y por lo tanto $0<\ell(D)-\ell(D-P)$ . Junto con $\ell(D)-\ell(D-P)\le\deg(P)=1$ da $\ell(D)-\ell(D-P)=1$ .

Para un divisor canónico $W$ y un lugar $Q$ repitiendo el proceso anterior obtenemos lugares $P_1,\dots,P_{g-1}$ y un divisor $A=W+Q-(P_1+\dots+P_{g-1})$ con $\deg(A)=g$ . Entonces $$\ell(W+Q)=\deg(W+Q)+1-g,$$ y $$\ell(W+Q)-\ell(A)=\deg(W+Q)-\deg(A),$$ como se desee.

(Parece que sigue siendo válido para $g-1$ ya que $\ell(A)=1$ y $\ell(A-P)=0$ para algún lugar $P$ . Corríjanme si algo está mal).