¿Cómo demuestro que la norma de este funcional lineal es $2$ ?

Question

$f$ se define en $C[-1, 1]$ por $$f(x)=\int_{-1}^0 x(t) dt - \int_0^1 x(t) dt.$$

Puedo demostrar que $\|f\| \le 2$ . No sé cómo mostrar $\|f\| \ge 2$ .

Answer 1

Por supuesto, si puedes conectar

$$x(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t\in [-1, 0] \\ -1 & \text{if } t\in (0,1]\end{cases}$$

Entonces esta función satisface $f(x) = 2$ . Pero esto $x$ no es continua. Sin embargo, se puede aproximar mediante $x_n \in C([-1,1])$ , donde

$$x_n (t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t\in [-1, -\frac 1n)\\ -1 & \text{if } t\in (\frac 1n, 1]\\ - nx & \text{if } t\in [-\frac 1n, \frac 1n] \end{cases}$$

Entonces $\|x_n\| = 1$ y $$f(x_n) = 1- \frac 1n + \frac 1{2n} + 1- \frac 1n + \frac 1{2n} = 2 - \frac{1}{n}$$

Así, $\|f\| \ge 2- \frac{1}{n}$ para todos $n$ .