problema del cuasi-producto interno

Question

Dejemos que $X$ un espacio vectorial normalizado en $\mathbb{R}$ y $a:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ tal que

1. $a(x,x)\ \geq\ 0,\;\;\; \forall\ x\in X$ .
2. $a(x,y)\ =\ {a}(y,x),\;\;\; \forall\ x,\ y\in X$ .
3. $a(\alpha x + \beta z, y)\ =\ \alpha\;{a}(x,y) + \beta\;{a}(z,y),\;\;\; \forall\ \alpha,\beta\in\mathbb{R},\;\;\; \forall\ x,\ y,\ z\in X$ .

Demostrar que $$|{a}(x,y)|\ \leq\ \frac{\varepsilon}{2}\;{a}(x,x)\ +\ \frac{1}{2\varepsilon}\;{a}(y,y)\;\;\; \forall\ x,\ y\in X, \;\;\; \forall\ \varepsilon > 0.$$

Por favor, necesito resolver este problema. Gracias por la ayuda y el tiempo.

Answer 1

Calcularemos $a$ para dos pares diferentes.

$$ a(\sqrt{\epsilon}x - \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y, \sqrt{\epsilon}x - \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y) $$ y $$ a(\sqrt{\epsilon}x + \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y, \sqrt{\epsilon}x + \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y) $$

La primera nos da

$$a(\sqrt{\epsilon}x - \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y, \sqrt{\epsilon}x - \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y) = a(\sqrt{\epsilon}x, \sqrt{\epsilon}x) - 2a(x,y) + a(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y, \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}y) \ge 0$$

De esto obtenemos $$2a(x,y)\le \epsilon a(x,x) + \frac{1}{\epsilon}a(y,y) \Rightarrow a(x,y)\le \frac{\epsilon}{2}a(x,x) + \frac{1}{2\epsilon}a(y,y)$$

Asimismo, el segundo cálculo nos da $$-a(x,y)\le \frac{\epsilon}{2}a(x,x) + \frac{1}{2\epsilon}a(y,y)$$

Por lo tanto,

$$|a(x,y)|\le \frac{\epsilon}{2}a(x,x) + \frac{1}{2\epsilon}a(y,y)$$