Taylor (o Laurent) Expansión de $f(z)=(1-z^{-1})^\alpha$

Question

Tengo esta función de la variable compleja $z$ :

$f(z)=(1-z^{-1})^\alpha$

y me gustaría hacer lo siguiente:

1. Sustituir $1/z$ con $x$ Por lo tanto $f(z)$ se convierte en $f(x)=(1-x)^{\alpha}$ ;
2. Ampliar $f(x)$ utilizando a Taylor, sobre $x=0$ .

Entonces obtendría una expansión polinómica con potencias positivas de $x$ que se convertirían en potencias negativas de $z$ . ¿Puedo hacerlo? ¿Cuáles son las implicaciones matemáticas? Es como si tratara una función compleja como una real. ¿Es eso correcto? ¿Puedo entonces volver a la formulación en $z$ ?

Gracias.

Answer 1

Corresponde a realizar una expansión de Laurent (centrada en cero) de la función de valor complejo $f(z)$ para $|z|>1$ . Las definiciones dependen del valor de $a$ . Si, por ejemplo $a$ no es un número entero, entonces para definir $f$ debe hacer un corte de 1 a 0. (Como para $\sqrt{z}$ donde se hace un corte de 0 a, por ejemplo $-\infty$ ).