Se Bourbaki ha comprometido a establecer teórico-reduccionismo?

Question

Un conjunto teórico-reduccionista sostiene que los conjuntos son los únicos objetos abstractos, y que (por ejemplo) los números son idénticos a los conjuntos. (Que establece? Un reduccionista es un relativista si ella es (por ejemplo) indiferente entre von Neumann, Zermelo, etc. los números ordinales, absolutista si ella tiene un argumento para una privilegiada reducción, tales como la identificación de los números cardinales con clases de equivalencia bajo equipollence). Opiniones contrastantes: clásica platonismo, que sostiene que (por ejemplo) de números que existen independientemente de los conjuntos; y el nominalismo, que sostiene que no hay abstracto de datos.

Estoy interesado en la relación entre el "estructuralismo", como su entendidos por los filósofos de la ciencia y de las matemáticas y la metodología estructuralista en matemáticas para que Bourbaki es bien conocida. Un pequeño punto que estoy colgado en el lugar de la teoría de conjuntos en Bourbaki estructuralismo. Estoy pesando dos lecturas.

• (1) el convencionalismo: Bourbaki se utiliza la teoría de conjuntos como una práctica "fundación", en un entorno en el que los modelos de estructuras pueden ser libremente construido, pero la "estructura" como se entiende en los capítulos posteriores no es esencialmente dependiente de la teoría formal de la estructura desarrollada en la Teoría de Conjuntos,
• (2) el reduccionismo: conjuntos de proporcionar a la planta baja de la ontología de las matemáticas; los matemáticos estudio de las estructuras en el ámbito de los conjuntos.

En favor de convencionalismo:

• (a) Leo Corry argumentos del "Nicolás Bourbaki y el Concepto de Estructura Matemática" que las estructuras formales de la Teoría de Conjuntos se deben diferenciar de y jugar sólo un papel marginal en la investigación posterior de la estructura matemática,
• (b) los pares ordenados: definiciones de reducción de los pares de conjuntos como Kuratowski a traer "equipaje" (es decir, extra estructura) y Bourbaki utilizado primitivo pares ordenados en la primera edición de la Teoría de Conjuntos, no mostrando el exceso de preocupación por la reducción completa,
• (c) las declaraciones de Dieudonne para el Instituto rumano de indicación de la chs. 1 y 2 son en su mayoría para satisfacer molestos filósofos (como me supongo) antes de llegar a los temas de mayor interés,
• (d) la discusión de axiomatics y la estructura de "La Arquitectura de las Matemáticas", la colocación de ningún énfasis especial en los conjuntos,
• (e) esta interpretación sirve mi egoísta filosófica de la agenda.

En favor de reduccionismo:

• (a) lineal ordenamiento de los textos sugiere percibido lógica de la dependencia en la Teoría de Conjuntos,
• (b) el reduccionismo tiene sentido de la unidad de las matemáticas,
• (c) edición de 1970 incluye Kuratowski pares,
• (d) sentido de las controversias sobre la categoría de teoría,
• (e) sentido de algunas extraño críticas (por ejemplo, Mac Lane en "Modelos Matemáticos" que Bourbaki fue dogmática y sofocante),
• (f) me temo que en inclinándose hacia el convencionalismo soy auto-engañando a servir a mi egoísta filosófica de la agenda.

Disculpas: no seguro de que este es MO apropiado, cualquier respuesta puede ser anacrónico, probablemente no lo unívoco de opinión entre los Bourbaki miembros, mis opiniones se basan en exposiciones populares, entrevistas, y la literatura secundaria y que no se cierre el estudio de los textos principales.

La discusión en relación con esta cuestión ha ocurrido recientemente en el n de la categoría de café, ocasionados por el Hombre en la reciente afirmación de que Bourbaki siempre "pragmática de las fundaciones". El conventionalist interpretación, creo, ayuda a dar sentido a Manin de la demanda y que muestran algunas críticas que apuntan hacia Bourbakism a malinterpretan su intención (si no su impacto). He Borel "veinticinco Años Con Bourbaki", que trata Grothendieck y la controversia sobre la dirección siguiente de los seis primeros libros. Corry hace la afirmación de que la Teoría de los Conjuntos solución de las limitaciones en el trato con la categoría de teoría. Me gustaría aprecian especialmente las referencias o las respuestas que me ayuden a comprender mejor estas cuestiones, en particular, que son accesibles a un filósofo con algunos cursos de posgrado en matemáticas y con sólo un autodidacta entendimiento rudimentario de las categorías.

Answer 1

En primer lugar, la mayoría de los matemáticos no me importa si todos los conjuntos son "puros", es decir, sólo contienen conjuntos de elementos, o no. La justificación teórica para esto es que, asumiendo el Axioma de Elección, cada conjunto se puede poner en bijection con un puro conjunto-es decir, una de von Neumann ordinal.

Me gustaría describir la Bourbaki como "estructuralista", lo que significa que toda la estructura está basado en juegos (yo no tome esto como una posición filosófica; es el más conocido y posiblemente la manera más sencilla de poner las cosas), pero nunca es fructífera para averiguar qué tipo de objetos que la contienen. Considero que este es tal vez el punto clave de "resumen" de las matemáticas en el sentido de que el término ha sido utilizado para el siglo pasado. E. g. un resumen de grupo es un conjunto con una relación binaria: parte de lo "abstracto" es que no te va a ayudar a preguntar si los elementos del grupo son números, o en grupos, o personas, o qué.

Digo esto sin haber leído nunca Bourbaki volúmenes sobre la Teoría de conjuntos, y afirmo que esto de alguna manera refuerza mi posición!

Es decir, Bourbaki es implacablemente lineal en su exposición, a través de miles de páginas: si quieres leer acerca de la terminación de un anillo local (en Álgebra Conmutativa), es mejor saber sobre filtros de Cauchy en un espacio uniforme (en General, la Topología). En los lugares me siento que Bourbaki overemphasizes dependencias lógicas y por lo tanto hace extraño expositiva opciones: por ejemplo, no quieren hablar acerca de la métrica de los espacios hasta que tengan "rigurosamente definido" los números reales, y no quieren hacer eso hasta que tengan la teoría de la finalización de un espacio uniforme. Este es excesivamente exigente: sin duda por el 1900 la gente sabía que cualquier número de formas rigurosamente construcción de los números reales que no requieren de 300 páginas de preliminares.

Sin embargo, nunca en mi lectura de Bourbaki (he volteado a través de cinco de sus libros) sido eclipsado por una referencia de vuelta a un conjunto anterior de la teoría de la construcción. También me enteré tarde en el día que las "estructuras" de las que hablan, en realidad obtener una definición formal en algún lugar en los primeros volúmenes: de nuevo, yo no sabía esto porque lo que "la estructura de la preservación de los mapas" que estaban hablando siempre fueron claros desde el contexto.

Algunos han argumentado que Bourbaki cierto inclinaciones estaban más cerca de un proto-categórica opinión sobre las cosas. (Uno debe recordar que Bourbaki se inició en la década de 1930, antes de que la categoría de la teoría de que existía, y su tratamiento de las matemáticas es consciente de "conservador": no es su intención de introducir a los de las últimas novedades.) En particular, al parecer, entre los muchos libros sin terminar de Bourbaki tumbado en el estante en algún lugar en París, es uno en la Categoría de Teoría, escritas en su mayoría por Grothendieck. La falta de mención explícita de los más simples categórica conceptos es una de las cosas que hace su trabajo de fecha moderna ojos.

Answer 2

Adrian Mathias ha escrito un gran número de excelentes ensayos criticar diversos aspectos de Bourbaki los fundamentos lógicos, y os animo a seguir el enlace y leer. Escribe supremamente bien, y algunos de estos ensayos son simplemente desenfrenada, cuando él expone particularmente ridículo aspectos de la Bourbaki sistemas, tales como el último elemento a continuación.

Probablemente, la principal referencia que usted debe buscar es:

• Adrian Mathias, La Ignorancia de Bourbaki (un comentario sobre la base de la postura del grupo Bourbaki. En: Mathematical Intelligencer 14 (1992) 4--13 MR 94a:03004b, y también en la Physis Riv. Internaz. Storia Sci (N. S.) 28 (1991) 887--904, SEÑOR 94a:03004a. Una traducción realizada por Andras Racz en húngaro está disponible, bajo el título de Bourbaki tevutjai, en Un Termeszet Vilaga, 1998, III. kulonszama.)

En este ensayo, es muy crítico de los Bourbaki postura sobre el conjunto teórico de fundaciones, y parece ver como teniendo lugar en un extraño vacío histórico. A pesar de que hablar de varias contribuciones históricas a la teoría de conjuntos, no mencionan Goedel y sus contribuciones monumentales. Su conjunto de la teoría de sistema, que equivalen esencialmente a los axiomas de Zermelo con la elección, es extrañamente débil, insuficiente para muchas de las construcciones matemáticas. (Por ejemplo, en ZC, usted no puede demostrar que el ordinal ω+ω existe, o que no hay ningún conjunto de cardinalidad Aleph_ω.)

Mathias tiene varias seguimiento de los artículos en su página web, de continuar la discusión de este tema, y sus ensayos constituyen ahora un diálogo con varios de los escritores de la defensa de Bourbaki. Por ejemplo, él tiene artículos interesantes participar con Mac Lane y con Mac Lane, la teoría de conjuntos, que comparte similitudes con el de Bourbaki.

Finalmente, ahí está su encanto ensayo que se burlaban de los Bourbaki sistema formal, además de dar un minucioso análisis lógico de la misma

• Adrian Mathias, Un Plazo de Duración 4,523,659,424,929, Synthese 133 (2002) 75--86.

Él lo describe así:

Un cálculo del número de símbolos necesarios para dar Bourbaki la definición del número 1; a lo cual debe agregarse 1,179,618,517,981 disambiguatory enlaces. Las implicaciones para Bourbaki filosóficos de las reclamaciones y la salud mental de sus lectores se discuten.

(He mencionado estos ensayos también en esta cuestión.)

Answer 3

Estoy muy molesto porque me escribió una respuesta a su pregunta y lo perdió porque mi conexión a caer y nunca registrado =(.

Bueno, Bourbaki del estructuralismo es, efectivamente, el uso de categorías, pero sólo restringe a sí mismo a categorías concretas. Uno debe recordar que en el comienzo de la escritura, de la categoría de teoría aún no había sido descubierto, y por el momento los dos primeros capítulos han sido publicadas, la obra de Grothendieck y Lawvere ni siquiera había empezado a descubrir topos de la teoría. En términos formales de las matemáticas, conjunto de teorías eran el único juego en la ciudad formal de la exposición (y son todavía en gran medida el modelo predominante). Es decir, sin construir en primer lugar una teoría de la metamathematics (capítulo 1, sección 1), la lógica (capítulo 1), una prueba de cálculo (capítulo 1), y la teoría de conjuntos (capítulo 2), uno no pudo ser completamente formal.

Bourbaki global de elección de operador $\tau$ le permite encontrar un distinguido objeto de satisfacer una proposición a menos que no haya ningún objeto que satisface, en cuyo caso devolverá cualquier objeto (esto es por el axioma esquema de S7 de Bourbaki también llamado el axioma esquema de epsilon extensionality por Hilbert y su escuela). De esta forma, nos permite hablar acerca de los objetos que son idénticos en términos de estructura, sin preocuparse por el conjunto subyacente.

Como para Bourbaki del reduccionismo en la versión posterior del libro (he leído que la versión anterior, en el hecho de que [esta es la fuente de la traducción al inglés]), que puedo decir, después de haber leído la versión anterior del libro, que la más reciente definición de un par ordenado es mucho más fácil de usar para definir la primera y segunda proyecciones, que es un ejercicio doloroso tautología en la primera edición (acabo de encontrar y de leer la sección en una copia de la francesa, segunda edición, y la discusión es más fácil de entender a pesar de que yo no hablo francés). Sin embargo, incluso en ese libro, el kuratowski estructura se utiliza una vez y luego se desechan, para nunca ser visto otra vez. Yo diría que el cambio entre ediciones era, simplemente, para hacer que la página sea más fácil de leer. Aquí está la razón: El axioma del par ordenado es redundante, ya que el par ordenado seguramente existe. Tal vez se podría haber definido el par ordenado (x,y) de cualquier objeto de satisfacer el axioma del par ordenado (axioma 3 en Bourbaki Theorie des Conjuntos 1. ed.), pero esto es realmente un punto de importancia, y si usted ha leído el libro antes, no se pierde tiempo en detalles sin importancia.

Mi conclusión sobre su reduccionismo en este caso es que fue por la sencillez de la exposición y la parsimonia, porque, como he dicho anteriormente, ¿por qué iba a tomar como un axioma de lo que uno puede demostrar?

[He editado el siguiente párrafo para mantener un tono positivo y dejar en claro que ciertos pronunciamientos son las opiniones más que los hechos. -- Pete L. Clark]

[He editado un poco más porque no me gusta el estilo, pero en el párrafo siguiente, es mi opinión -- Harry Gindi]

También, me parece de Mac Lane, la crítica es un poco fuerte. Bourbaki es un estándar de referencia en las escuelas elementales álgebra abstracta y general de la topología (si uno quiere encontrar la forma más general la versión de un teorema conocido hasta la fecha en uno de los temas, un buen lugar para comenzar es Algebre o Topologie General por Bourbaki). Uno de los mejores lugares para aprender sobre el uniforme de los espacios (que han llegado en MO un sorprendente número de veces en los últimos meses) es de Bourbaki. Bourbaki las pruebas son también muy claro y realmente maravilloso para leer (una vez que tenga la madurez en matemáticas). De nuevo, Bourbaki en Espacios Vectoriales Topológicos es de nuevo un estándar de referencia en espacios vectoriales topológicos. Su libro sobre la integración de la teoría sólo puede incluir medidas de Radón, pero su sección en la medida de Haar es un estándar de referencia sobre el tema. Su Álgebra conmutativa libro es uno de los más en profundidad libros de álgebra conmutativa en la actualidad alrededor de (igualada, yo diría que, sólo por Matsumura (no tan viejo] y Zariski-Samuel [que es muy antiguo]), y no se olviden de la obra maestra que es Mentira Grupos y Álgebras de Lie, que es el único Bourbaki libro que he visto asignado como una clase de texto en lugar de una referencia. Alguien que lea SGA verá que Bourbaki en realidad escribió un número de secciones (quienes participaron no está exactamente claro, pero la cita es a Bourbaki). Mac Lane ha hecho grandes contribuciones al mundo de las matemáticas, pero respetuosamente en desacuerdo con su evaluación de Bourbaki. Bourbaki fue un hito en el estilo de matemática de la exposición, con su énfasis en el formalismo, el rigor, la claridad y, en cierto modo, ignorando las palabras de Goedel, y tomando programa de Hilbert de formalismo, tan lejos como podía ir.

Answer 4

Las dificultades en la formalización de razonamiento categórico en la teoría de conjuntos son en realidad bastante simple de entender-es sólo un molesto incompatibilidad en la forma en la noción de tamaño se utiliza en la práctica en la categoría de la teoría frente a la teoría de conjuntos. En la categoría de teoría, es común hablar de categorías como la categoría de grupos y categorías de functors en esta categoría, y así sucesivamente. Y por razones similar a la paradoja de Russell, necesitamos distinguir entre pequeñas y grandes categorías.

En la teoría de conjuntos, esto corresponde a la distinción entre conjuntos y adecuado de las clases. Pero a la hora de interpretar las categorías en los sets, no queremos identificar a pequeños y grandes con set de clase y queremos que sea un pariente distinción, de manera que a medida que la forma de nuevas categorías de podemos "cambiar de idea" acerca de lo pequeño y lo grande. De lo contrario, no podemos realizar muchos de los naturales categórica construcciones, tales como la formación de functor categorías, tan pronto como el origen y el destino son grandes. (La razón es que no podemos tomar exponenciales/poderes de la correcta clases).

Grothendieck manejado esto mediante la introducción de universos, que son un anidada de la familia de conjuntos cerrados en virtud de que el conjunto de formación de operaciones de ZFC. (Postular su existencia corresponde a un gran cardenal axioma.) Así que ahora estamos "realmente" trabajo ambiguamente, en algún nivel, en el universo de la jerarquía, y cuando tenemos que formar un functor categoría entre los grandes categorías, podemos mover nuestro punto de vista un nivel de universo, de modo que las dos categorías particulares queremos construir un functor categoría, son pequeños de nuevo. De esta manera, la adecuada clases nunca son utilizados para interpretar las categorías, y así, todo el conjunto de formación de operaciones están siempre disponibles.

Si esto es o no es indispensable o no es una cuestión de debate furioso (aunque me han dicho Grothendieck universos son relativamente leves gran cardenal axioma).

Answer 5

Geoffrey Hellman ha escrito algo sobre el estructuralismo, que compara Bourbaki estructuralismo con la categoría teórico del estructuralismo. Aquí. Su opinión parece ser que estaban siendo reduccionista.