Propiedad del adjunto de una matriz

Question

$\DeclareMathOperator{\adj}{adj}$

Si $|\adj(A)| = |A|^{n - 1} ;\bigl| \adj\bigl(\adj(A)\bigr) \bigr| = {\left| A \right|^{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}$ entonces $\bigl| {\underbrace {\adj\dots\adj\bigl(\adj(A) \bigr)}_{t \text{ - times}}} \bigr| = {\left| A \right|^{{{\left( {n - 1} \right)}^t}}}$

¿Cómo lo demostramos?

Hasta $\bigl|\adj\bigl(\adj(A)\bigr)\bigr| = | A |^{(n - 1)^2}$ Se menciona en el libro, pero no después.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\adj}{adj}$ $$A(\adj A)=|A|I$$ Poner $A=\adj\adj A$ $$(\adj\adj A)(\adj \adj\adj A)=|\adj\adj A|I$$ Ahora, $\adj\adj A=|A|^{n-2}A$ . Y, $|\adj\adj A|=|A|^{(n-1)^2}$ . Poniendo esto, obtenemos, $$|A|^{n-2}A(\adj \adj\adj A)=|A|^{(n-1)^2}I$$ $$\implies \adj\adj\adj A=|A|^{n^2+1-2n-n+2}A^{-1}$$ $$=|A|^{n^2-3n+3}\frac{\adj A}{|A|}$$ $$=|A|^{n^2-3n+2}A$$ Utilizando el hecho de que $|kA|=k^n|A|$ obtenemos $|\adj\adj\adj A|=|A|^{(n-1)^3}$ . ¿Ves el patrón ahora?