¿suma directa de anyones?

Question

En la fase topológica de un fluido cuántico fraccionario de Hall las excitaciones del estado básico (cuasipartículas) son anyons Al menos Conjeturalmente . Luego se supone que hay un trenzado categoría de fusión cuyos objetos irreducibles están en correspondencia 1-1 con los distintos tipos de cuasipartículas elementales.

El producto tensorial de objetos tiene un significado físico evidente: es la operación de colisión (fusión) de cuasipartículas...

... ¿pero qué pasa con la suma directa?

- El producto tensorial de dos objetos irreducibles podría ser una suma directa de irreducibles: ¿qué significa esto físicamente en cuanto al resultado de una colisión de cuasipartículas?

- Deja que $X$ sea un objeto irreducible de la categoría de fusión. ¿Hay alguna diferencia física entre (los estados físicos correspondientes a) $X$ y a $X\oplus X$ ?

Answer 1

Esto era originalmente un comentario sobre la excelente respuesta de Joe, pero se hizo demasiado largo. Estoy tratando de abordar la cuestión de lo que φ ⊕ φ significa.

Supongamos que se mira la ecuación

φ ⊗ φ ⊗ φ = φ ⊕ φ ⊕ I.

Lo que esto dice es que cuando se fusionan tres partículas φ, hay dos maneras diferentes de producir φ, y una manera de producir I. Las dos maneras son (a) y (b) abajo; la única manera de producir I es (c):

(a) fusionar φ ⊗ φ para obtener I, y luego fusionar φ ⊗ I para obtener φ;

(b) fusionar φ ⊗ φ para obtener φ, y luego fusionar φ ⊗ φ para obtener φ.

(c) fusionar φ ⊗ φ para obtener φ, y luego fusionar φ ⊗ φ para obtener I;

Estos tres estados son ortogonales, y se pueden tomar como estados base del espacio de Hilbert φ ⊗ φ ⊗ φ. Al contar estas diferentes formas, tienes que mantener fijo el orden en el que fusionas las partículas. Si quieres cambiar este orden, tienes que aplicar lo que los físicos llaman la matriz F (posiblemente de forma repetida) para hacer que esta base cambie.

Una forma de pensar en esto es que el producto tensorial corresponde al estado conjunto de dos sistemas, y el producto directo a la superposición de estados. Cuando se fusionan partículas, se realiza una medición. La ecuación anterior implica que si tienes tres anyones de Fibonacci, su espacio de Hilbert se divide en dos sectores. En uno de ellos (el bidimensional), cuando se fusionan los tres anyones, se obtiene un anyón de Fibonacci. En el otro (el unidimensional), cuando se fusionan los tres anyones, se obtiene el estado de vacío. Lo que se obtiene al fusionar los tres anyones no depende del orden en que se haga (a menos que se trenzen estos anyones con otros anyones antes de fusionarlos, que es como se hace la computación cuántica con los anyones).

Answer 2

Hay una serie de apuntes muy buenos sobre el tema de Jiannis Pachos ici . (véase específicamente la sección 1.3 sobre las propiedades de fusión y trenzado).

En cuanto a la primera pregunta, el producto tensorial y el producto directo son básicamente formas diferentes de dividir el espacio de Hilbert (véase la esclarecedora discusión de John Baez ici ). Cuando se tiene una relación como $\phi \otimes \phi = \mathbb{I} \oplus \phi$ (como para Anales de Fibonacci ), lo que dice es que cuando dos anyones se fusionan crean el vacío o un solo anyón. Físicamente, la suma directa es básicamente una enumeración de posibilidades, mientras que el producto tensorial es básicamente una descripción de la única posibilidad para un sistema compuesto por varios subsistemas. Así que una ecuación como ésta dice que la fusión de dos anyones produce un anyón único o el estado de vacío.

En cuanto a la segunda pregunta, ya que la suma directa es construir el espacio de Hilbert combinando los espacios de Hilbert de los argumentos, $\phi+\phi$ no es lo mismo que $\phi$ sino que es un espacio de Hilbert más grande de anyones simples. Tal vez quieras mirar la página 17 del enlace de Fibonacci. Observará que $\phi\otimes\phi\otimes\phi = \mathbb{I} \oplus \phi \oplus \phi$ que es un espacio de Hilbert de 3 dimensiones, donde como $\phi\otimes\phi=\mathbb{I} \oplus \phi$ que es un espacio de Hilbert de 2 dimensiones.

Answer 3

Los objetos simples de la categoría de fusión trenzada corresponden a los posibles tipos de partículas. En el ejemplo importante más sencillo hay dos tipos de partículas 1 y $\phi$ . (Bueno, el 1 es el vacío, así que es un tipo de partícula ligeramente impar).

Los objetos no simples no tienen ningún significado físico intrínseco, $\phi \oplus \phi$ sólo se refiere a cualquier sistema "que puede ser una sola partícula pero de dos maneras diferentes", pero no hace ninguna afirmación sobre cuáles son esas dos maneras diferentes.

El producto tensorial de los objetos simples tiene un significado intrínseco, significa mirar un sistema con varias partículas en él.

Dado que la categoría subyacente sólo tiene un número finito de objetos, cada vez que se tiene un sistema multipartícula se puede descomponer el espacio de Hilbert como una suma directa de estados donde se han fusionado todos en una sola partícula (ya sea 1 o $\phi$ ). Por ejemplo, ya que $\phi \otimes \phi \otimes \phi \cong \phi \oplus \phi \oplus 1$ esto significa que el espacio de Hilbert para el sistema de 3 partículas es de 3 dimensiones, y se divide en un espacio de dos dimensiones de cosas que se comportan como una sola partícula (este es el $\phi \oplus \phi$ parte) y un espacio unidimensional de cosas que se comportan como el vacío (esta es la parte 1). En este caso $\phi \oplus \phi$ tiene un significado físico imbuido en virtud de su aparición como sumando de $\phi^{\otimes 3}$ , pero otras apariciones de $\phi \oplus \phi$ dentro de otros productos tensoriales tienen diferentes significados físicos.

En general, el espacio de Hilbert asignado al sistema de k partículas $X_{a_1} \otimes X_{a_2} \otimes \ldots \otimes X_{a_k}$ es la suma directa de todos los tipos de partículas $X_i$ $$\bigoplus_{X_i} \mathrm{Hom}(X_{a_1} \otimes X_{a_2} \otimes \ldots \otimes X_{a_k}, X_i).$$

Answer 4

Creo que por fin entiendo el significado físico de los objetos compuestos (es decir, no simples) como $\phi\oplus\phi$ . Se explica en la sección II de mi artículo con Tian Lan arxiv.org/abs/1311.1784 .

Sabemos que poner unos cuantos anyones (es decir, los objetos de la categoría tensorial) en una superficie de Riemann puede generar estados degenerados (es decir, el espacio de fusión de los objetos de la categoría tensorial). Físicamente, "poner unos cuantos anyones en una superficie de Riemann" significa que utilizando un determinado hamiltoniano local $\Delta H$ para localizar los anyones en determinados lugares fijos. Los estados degenerados mencionados anteriormente son los estados básicos del Hamiltoniano total $H_0+\Delta H$ . Si la degeneración es independiente de cualquier perturbación de $\Delta H$ cerca de una partícula, entonces esa partícula es del tipo simple. Si la degeneración puede ser dividida por una perturbación de $\Delta H$ cerca de una partícula, entonces esa partícula es del tipo compuesto.

En otras palabras, la partícula de tipo compuesto corresponde a la degeneración accidental en la física.

Answer 5

Si no recuerdo mal, las clases de isomorfismo de los objetos simples corresponden a diferentes tipos de partículas (que se supone que son finitas), además se suele necesitar más estructura que una categoría de fusión, por ejemplo el trenzado (que es la razón por la que los anyones son tan interesantes). Permítanme ser muy concreto. Una categoría físicamente (y experimentalmente) relevante tiene tres clases de isomorfismo de objetos simples $(\mathbf 1, \psi, \sigma)$ con las reglas de fusión no triviales

$$ \psi\otimes\psi = \mathbf 1, \quad \psi\otimes\sigma =\sigma\quad \text{and}\quad\sigma\otimes\sigma = \mathbf 1 \oplus \psi,$$ donde $\sigma$ es el llamado Ising anyon (y $\mathbf 1$ es el objeto unitario). Se conjetura que estas cuasipartículas aparecen en el $\nu = 5/2$ meseta en sistemas Hall cuánticos fraccionarios y en $p+ip$ superconductores de onda.

Estas reglas de fusión se pueden utilizar para construir el espacio de Hilbert del estado básico, que viene dado por el espacio de morfismos entre objetos simples. Definición de $V_{ab}^c = \text{Hom}(a\otimes b,c)$ el espacio de Hilbert para dos anyones de Ising es $V_2 = V_{\sigma\sigma}^{\mathbf 1}\oplus V_{\sigma\sigma}^{\psi}$ que es bidimensional. Para $2n$ anyones, el estado básico es $\text{dim}V_{2n}= \text{dim}V_{2n\sigma}^{\mathbf 1} + \text{dim}V_{2n\sigma}^{\psi} = 2^{n-1}+2^{n-1} = 2^n$ dimensional (esto se ve muy bien usando una notación gráfica para morfismos, ver referencias más abajo). Utilizando la regla de fusión $\sigma\otimes\sigma = \mathbf 1 \oplus \psi$ se pueden resolver las ecuaciones del pentágono y del hexágono para el $F$ y $R$ que al combinarse dan lugar a una representación del grupo Braid $B_{2n}$ (más concretamente, el grupo de clases de mapeo de la esfera n-perforada=grupo de los frenos + giros de Dehn) en el espacio de Hilbert del estado básico $V_{2n}$ .

Por lo tanto, una consecuencia física de estas sumas directas es que el estado básico es degenerado y los anyones tienen estadísticas altamente no triviales, la función de onda del estado básico se transforma bajo una representación (de mayor dimensión) del grupo de la trenza cuando las partículas se mueven adiabáticamente unas alrededor de otras. Esta propiedad de los anyones (no abelianos) ha dado lugar a la idea de utilizarlos para la computación cuántica (otra propiedad es su naturaleza no local, que los salva parcialmente de la decoherencia).

Para tener una idea más física de lo que significa la fusión (o la colisión, como usted la llama) de partículas, se puede ver el concreto $p+ip$ superconductores de onda. En tales superconductores los modos cero (majorana) pueden estar ligados al núcleo de los vórtices de Abrikosov, donde para 2n vórtices habrá $2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1}$ estados fermiónicos. Esto significa que se necesitan dos fermiones de Majorana para obtener un fermión convencional. Cuando los vórtices están separados espacialmente, el estado en el núcleo del vórtice no puede ser medido por mediciones locales. En la notación anterior; $\sigma$ es un vórtice, $\psi$ un electrón, y $\mathbf 1$ un par de cooper ("la partícula trivial"). Con esta identificación, las reglas de fusión dicen que la fusión de dos electrones ( $\psi\otimes\psi = \mathbf 1$ ) da un par de cobre que desaparece en los condensados, mientras que la fusión de dos vórtices ( $\sigma\otimes\sigma = \mathbf 1\oplus\psi$ ) no dan nada o un electrón.

Así, el significado físico de estas sumas directas de objetos simples tiene que ver con los posibles resultados cuando medimos el estado después de fusionar dos partículas. De este modo, los anyones (no abelianos) pueden utilizarse para construir qubits, trenzándolos se puede hacer un cálculo, al final se pueden fusionar y medir el estado resultante.

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Referencias: Puede leer el apéndice B y luego el capítulo cuatro de este tesis para obtener una descripción más precisa de cómo se conectan las categorías de cintas trenzadas y los anyones. Estos notas de clase de John Preskill da una visión más física, en la sección "9.12 Modelos de Anyon generalizados" se utiliza la teoría de la categoría para formular la física (aunque no se utiliza el lenguaje de la teoría de la categoría, y podría ser molesto si usted es un matemático). Para un matemático una mejor referencia es

• Computación cuántica topológica (2010) Por Zhenghan Wang

Por último, pero no menos importante, la referencia canónica para los anyones no abelianos es el artículo de revisión

• Anyones no belianos y computación cuántica topológica - Nayak, Simon, Stern, Freedman y Das Sarma ( arxiv ).