En ${\bf M}_n(\mathbb R)$ consideremos la norma habitual del operador $$\|A\|=\sup\frac{\|Ax\|}{\|x\|},$$ donde $\|x\|$ es la norma euclidiana.
La bola unitaria cerrada $B$ es el conjunto de contracciones (en la terminología utilizada por los teóricos del operador). Es un subconjunto compacto convexo de ${\bf M}_n(\mathbb R)$ . Por Krein-Milman (caso de dimensión finita), es el casco convexo de su subconjunto ${\rm ext}(B)$ de los puntos extremos. Resulta que ${\rm ext}(B)$ es el grupo ortogonal ${\bf O}_n(\mathbb R)$ .
Ahora, recuerda que ${\bf O}_n(\mathbb R)$ tiene dos componentes conectados, uno positivo ${\bf SO}_n(\mathbb R)$ y una negativa ${\bf O}_n^-(\mathbb R)$ .
¿Cuál es el casco convexo de ${\bf SO}_n(\mathbb R)$ ?
Claramente, es un subconjunto convexo compacto, incluido en $B$ . Es un subconjunto estricto de $B$ porque no cumple con ${\bf O}_n^-(\mathbb R)$ . El título se refiere a la "parte positiva" de $B$ pero esto podría ser inapropiado, en el sentido de que podría encontrarse con el casco convexo de ${\bf O}_n^-(\mathbb R)$ de forma no trivial.
Obsérvese también que este casco convexo es invariante bajo la multiplicación a la derecha o a la izquierda por un elemento de ${\bf SO}_n(\mathbb R)$ . Por lo tanto, bastaría con decidir qué matrices diagonales ${\rm diag}(a_1,\ldots,a_n)$ con $|a_1|\le a_2\le\cdots\le a_n$ contiene.
Cuando $n=2$ , ${\bf SO}_n(\mathbb R)$ es un círculo y su casco convexo es un disco, obviamente un conjunto mucho más pequeño (incluso desde el punto de vista dimensional) que $B$ .
