Es $f(0)$ ¿Finito?

Question

Dejemos que $f \in L^1(\mathbb R^d)$ tal que $f$ es continua en $0$ .

Entonces $f(0) < \infty$ .

¿Es esto cierto? Mi (fallido) intento de prueba va así:

Supongamos que $f(0) = \infty$ ya que $f$ es continua en $x=0$ entonces, dado cualquier $M > 0$ existe $\delta >0$ tal que $f(x) >M$ por cada $x \in (-\delta,\delta)$ . Entonces: $$\int_{-\delta}^{\delta}f > 2\delta M$$ Pero esto no contradice necesariamente que $f \in L^1(\mathbb R^d)$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

¿Qué se entiende por continuidad de una función con valores posiblemente infinitos?

Si con esto quiere decir que, por ejemplo, si $f(0)=+\infty$ entonces $f(x)$ es continua en cero si $$\forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0: \quad\forall x\in(-\delta,\delta)\ f(x)>\varepsilon$$ (en el caso unidimensional), entonces $f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}*I_{[-1,1]}(x)$ , donde $I_{[-1,1]}(x)$ es la función indicadora, es un contraejemplo.