Dado que en el no estándar se pueden tener números infinitamente grandes, me preguntaba si puedo asignarles sumas divergentes. Sin embargo las sumas infinitas se definen tomando el límite al infinito de una suma parcial de la secuencia. Pero eso significaría que todas las sumas divergentes que van a $\infty$ son el mismo número infinito, o se trata de un infinito diferente? ¿Puedo incluso utilizar el límite aquí?
Respuestas
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Podemos aplicar el principio de transferencia al hecho de que finito existen sumas de secuencias arbitrarias. Más precisamente,
Para cualquier secuencia interna $x_n$ de los números hiperreales, definidos sobre los hiperintegros $n = a, a+1, \ldots, b$ la suma $$ \sum_{n=a}^b x_n $$ está bien definida.
Ahora, lo que hay que tener en cuenta es que esta suma sólo funciona para las secuencias que tienen un Inicio y un Finalizar . Por ejemplo, dado cualquier hiperintegro infinito $H$ tenemos
$$ \sum_{n=0}^H n = \frac{H(H+1)}{2} $$
pero nosotros no puede utilizar esto para dar sentido a una suma como
$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} n = {???}$$
Nótese, por cierto, que el principio de transferencia también puede aplicarse a la suma infinita; podemos definir lo que significa que haya una suma $\sum_{n=a}^{\infty} x_n$ para interno secuencias $x_n$ . Pero tenga en cuenta que esta suma es sobre todo hiperintegros mayor o igual que $a$ . (En particular, $\infty$ es mayor que cualquier número hiperreal)
Otra cosa que se puede hacer es definir una nueva forma de suma, que podríamos llamar "ultrasuma", tomando el "ultralímite" de las sumas parciales.
En particular, dado el modelo específico de los hiperreales en términos de ultrapoderes, entonces dada cualquier secuencia de reales ordinarios $x_n$ para $n=0,1,\ldots$ podemos definir su ultrasum como el hiperreal
$$ \left( \sum_{n=0}^0 x_n, \sum_{n=0}^1 x_n, \sum_{n=0}^2 x_n, \ldots \right) $$
Por cierto, si $H$ es el hiperreal correspondiente a $(0, 1, 2, \ldots)$ y utilizamos la secuencia $x_n = n$ Creo que este ultrasum es el mismo valor que la suma $\sum_{n=0}^H n$ dado arriba.
Para hacer un breve esbozo de cómo funciona la definición anterior, la cuestión es que en el análisis real, podemos definir un conjunto $S$ de todas las secuencias finitas, y la suma es una función específica de $S \to \mathbb{R}$ .
La suma hiperfinita definida anteriormente es precisamente la transferencia de esta función, que es una función interna ${}^\star S \to {}^\star \mathbb{R}$ .
Tomas Dabasinskas
Puntos
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Puede consultar el tratamiento elemental que se encuentra en el libro de texto de Keisler Cálculo elemental .
Dos de los principales principios en juego son el Principio de extensión y el Principio de transferencia .
El Principio de Extensión afirma que cualquier función real tiene un extensión natural por ejemplo, una secuencia $u=(u_n)$ de los números reales puede verse como una función $u:\mathbb N \to \mathbb R$ y por lo tanto tiene una extensión natural $u: {}^\ast \mathbb N \to {}^\ast \mathbb R$ .
Esto significa que la secuencia extendida tiene ahora términos etiquetados por todos los números hipernaturales, digamos $H$ también, de modo que $u_H$ está bien definida. Por ejemplo, si la secuencia tiende a infinito, entonces el término $u_H$ será infinitesimal para todo infinito $H$ . Esto se demuestra utilizando el Principio de Transferencia.
Si una secuencia $(u_n)$ tiende a infinito entonces $u_H$ será un número hiperreal infinito para todos los valores infinitos $H$ del índice.
El límite de una secuencia se define como la parte estándar de $u_H$ para el infinito $H$ . Si $u_H$ resulta ser infinito, entonces la parte estándar no está definida y el límite no existe.
Esto también proporciona una explicación de las "sumas infinitas" (más precisamente, de las sumas hiperfinitas) como sigue. Denotemos por $S_n$ la suma parcial de la serie definida por la secuencia $(u_n)$ para que $S_1=u_1$ , $S_2=u_1+u+2, S_3=u_1+u_2+u_3$ etc. Entonces la secuencia de sumas parciales $(S_n)$ tiene una extensión natural por el Principio de Extensión. Así, $S_H$ se define ahora para una hipernaturaleza infinita $H$ . Este es el tipo de "suma infinita" que se tiene en el marco de Robinson. Si la serie converge entonces su suma es la parte estándar de $S_H$ .
