¿Qué QFTs fueron construidos rigurosamente?

Question

¿Qué QFTs tienen construcciones matemáticamente rigurosas a la AQFT? Tengo entendido que hay muchas construcciones de este tipo en 2D, en particular la CFT 2D ha sido ampliamente estudiada matemáticamente. Pero incluso en 2D hay muchas teorías sin construcciones conocidas, por ejemplo, los modelos sigma no lineales en la mayoría de los espacios objetivo curvos. En dimensiones superiores la lista de ejemplos no libres es mucho más corta.

Estoy buscando una lista completa de QFTs construidos hasta la fecha con referencia a cada construcción. También estaría bien un buen artículo de revisión actualizado de todo el tema.

EDIT: Esta pregunta se refiere a las QFT en el espaciotiempo de Minkowski (o al menos en el euclidiano), no a los espaciostiempos con curvatura y/o topología no trivial.

Answer 1

La lista sería demasiado larga aquí. También depende de lo exigente que sea usted con la noción de "ser construido". Si se toma una definición bastante restrictiva como: se han establecido todos los axiomas de Wightman, entonces eso excluye a Yang-Mills, a pesar de que Bałaban ha realizado un importante trabajo, como ha mencionado José, y también otros autores: Federbush, Magnen, Rivasseau, Sénéor. Ejemplos de teorías en las que se han comprobado todos los axiomas de Wightman:

• Teorías escalares masivas en 2d con interacciones polinómicas, véase este artículo por Glimm, Jaffe y Spencer.

• Massive $\phi^4$ en 3d, véase este artículo por Feldman y Osterwalder así como este por Magnen y Sénéor.

• Gross-Neveu masivo en 2d ver este artículo por Gawędzki y Kupiainen y este por Feldman, Magnen, Rivasseau y Sénéor.

• Modelo de Thirring masivo, véase este artículo de Fröhlich y Seiler y este otro más reciente por Benfatto, Falco y Mastropietro.

Answer 2

Para la CFT hay muchos ejemplos. Daré algunos ejemplos de redes conformes locales en el círculo (o línea real). El modelo de Ising que menciona Pieter es la red de Virasoro con $c=1/2$ . La red de Virasoro puede construirse para la red discreta $c<1$ y $c>1$ . Ver por ejemplo

• Kawahigashi Y. Longo R. (2004) "Classification of local conformal locales. Case c<1" Ann. of Math. 160, p493-522

Además, clasifican todas las redes conformes locales con carga central $c<1$ . Las representaciones de energía positiva de los grupos de bucles dan redes conformes.

• Jürg Fröhlich y Fabrizio Gabbiani. Operator algebras and conformal field theory. Comm. Math. Volumen 155, número 3 (1993), 569-640. http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1104253398

Las redes conformes asociadas a los retículos y sus orbifolds se construyen en

• Dong & Xu. Conformal nets associated with lattices and their orbifolds. Avances en Matemáticas (2006) Volumen: 206, Número: 1, Páginas: 279-306

y en el mismo número Kawahigashi y Longo han construido la red "moonshine".

• Kawahigashi & Longo. Local conformal nets arising from framed vertex operator algebras. Adv. Math. 206 (2006), 729-751.

Para los modelos masivos en 2D Lechner construyó los modelos de matriz S factorizantes en los que a priori son sólo redes "cuña-locales" pero logró mostrar para una clase que mostrar la existencia de observables locales.

• Lechner. Construcción de Teorías Cuánticas de Campo con Matrices S Factorizantes. Commun.Math.Phys. 277, 821-860 (2008)

Answer 3

Obsérvese que un red AQFT conformada como en las respuestas de Marcel y Pieter sólo da los "datos quirales" de una CFT, no una CFT completa definida en todos los géneros. Para el caso racional, las CFTs 2d completas han sido construidas y clasificadas por FFRS . También Liang Kong ha desarrollado nociones que promueven una CFT quiral a una CFT completa (rigurosamente), ver esta revisión .

Más allá de eso, por supuesto, se han construido rigurosamente QFTs topológicas, incluyendo modelos sigma topológicos en objetivos no triviales. A través de " TCFT " esto incluye el modelo A y el modelo B en 2d.

Answer 4

Supongo que sabes que se pueden construir teorías de campo libre (en una dimensión arbitraria del espaciotiempo, creo).

En la teoría cuántica de campos algebraica (a la Haag), existe, por ejemplo, el modelo conforme de Ising. Puedes encontrar más información sobre esto en estas referencias:

• Mack, G., & Schomerus, V. (1990). Conformal field algebras with quantum symmetry from the theory of superselection sectors. Communications in Mathematical Physics, 134(1), 139-196.
• Böckenhauer, J. (1996). Localized endomorphisms of the chiral Ising model. Communications in Mathematical Physics, 177(2), 265-304.

En este último "endomorfismos localizados" como en el programa Doplicher-Haag-Roberts sobre sectores de superselección. Véase, por ejemplo este documento en el arXiv.

Seguramente hay más ejemplos, también en el entorno de Wightman, pero no los conozco demasiado.

Answer 5

Una aproximación a la construcción rigurosa de las teorías gauge es a través de la red. Hubo algunos trabajos en la década de 1980 -recuerdo los de Tadeusz Bałaban (MathSciNet) (inSPIRE) en Comunicaciones -- sobre este tema.