¿Demostración de que la derivada de la función de recuento de primos es la probabilidad de primos?

Question

La derivada de la estimación de la función de recuento de primos, $\frac{x}{ln(x)}$ es $\frac{ln(x)-1}{ln(x)^2}$ que es aproximadamente $\frac{1}{lnx}$ para grandes valores de $x$ . Según la teoría de los números primos, $\frac{1}{lnx}$ es la probabilidad de que un número entero elegido al azar entre 2 y $x$ es un número primo.

¿Por qué la derivada de la función de recuento de primos es la probabilidad de obtener un número primo?

Editar: Sólo he estudiado hasta las integrales básicas, ¡así que intenta que sea sencillo!

Answer 1

Estás describiendo el modelo de Cramer de los primos, que es bastante bueno. Sin embargo, Maier demostró hacia 1985 que daba estimaciones incorrectas para intervalos cortos. A ver si lo encuentro, es un episodio famoso.

Teorema de Maier

Answer 2

Esto no es preciso, porque $\pi(x)$ no es ni continua ni diferenciable, pero se entiende la idea :-)

Teorema del valor medio: $$ \pi(x+1)-\pi(x)=\pi'(\xi)[(x+1)-x]=\pi'(\xi) $$ para algunos $\xi\in(x,x+1)$ . Pero $\pi(x+1)-\pi(x)$ es cero o uno en función de si $x+1$ es primo o no. Así que, probabilísticamente, obtenemos el resultado que has descrito. O puedes mirar un intervalo más largo.