Algunos campos vectoriales simples tienen componentes que son sólo una función de su propia variable. por ejemplo, $$F(x,y,z)=\begin{bmatrix}x^2+1\\\sin y\\3\end{bmatrix}$$ en lugar de: $$F(x,y)=\begin{bmatrix}5x+y^2\\4\sin x\end{bmatrix}$$ Se sienten algo especiales, y es más fácil trabajar con ellos en general. ¿Existe un nombre formal para ellos? ¿Cómo podría referirme a un campo vectorial de este tipo de forma concisa?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
dc.sashwat
Puntos
41
En contextos en los que es probable que se utilice una frase como "campo vectorial", esos "campos vectoriales simples" se encuentran raramente y no suelen tener un nombre especial.
Sin embargo, en contextos más abstractos/teóricos como la Topología, algo así podría llamarse producto (cartesiano) de funciones . Por ejemplo, si tenemos $f_1:A_1\to B_2$ , $f_2:A_2\to B_2$ y $f_3:A_3\to B_3$ entonces tendríamos la función producto $f_1\times f_2\times f_3:\left(A_1\times A_2\times A_3\right)\to\left(B_1\times B_2\times B_3\right)$ .
En su caso, $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ están todos implícitos para ser $\mathbb R$ (para que $f_1\times f_2\times f_3:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ ), y $f_1(x)=x^2+1$ , $f_2(x)=\sin x$ y $f_3(x)=3$ .
A modo de apunte, cuando se habla de manera informal se puede escuchar a alguien llamar a lo siguiente una función de producto: $\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}t^2+1\\\sin t\\3\end{bmatrix}$ . Pero para distinguirlo del caso anterior, sería mejor llamarlo $\mathbf{r}$ un "triplicado"/"tuteado" de funciones (o "mapas" o "morfismos"). Puede leer una discusión al respecto en la página del nLab sobre emparejamientos y John Gowers pregunta por un nombre para el caso infinito en esta pregunta de MSE .
