Encuentra las reordenaciones de 1234 en las que al menos uno de los dígitos está en su posición original

Question

No sé si lo estoy haciendo bien.

Así que pegar uno en su lugar original, podemos tener:

$(3^3-3*2^3+3*1^3) * 3 = 18$ arreglos

Answer 1

La forma más fácil de calcular $!n$ es a través de la recursión $!n=(n-1)(!(n-1)+!(n-2))$ .

Esto da $!1=0,!2=1,!3=2,!4=9$ .

Lo que quieres es $4!-!4=24-9=15$ .

Answer 2

Sólo hay que encontrar la cantidad de desórdenes que tenemos. O puedes simplemente hacer fuerza bruta en los casos:

Si exactamente uno está en la posición correcta ( $4$ maneras de asignar) hay $2$ formas de asignar los tres últimos para que estén en los lugares equivocados para que $8.$

Si dos están en la posición correcta hay $\binom{4}{2}=6$ maneras de elegir esos entonces sólo hay una manera de "desvirtuar" los dos restantes. Es decir $6.$

Y no hay formas de tener exactamente tres correctas, y por supuesto el caso en el que todo está en el lugar correcto ( $1234$ ). Así que la respuesta es $8+6+1=\boxed{15}.$

---

Alternativamente, podemos contar los desórdenes como se mencionó anteriormente:

Para cualquier permutación, dejemos que $f(n)$ sea la posición de dicho número. Así, para $4231$ $f(4)=1, f(2)=2,$ etc.

Si formamos un "4-ciclo" (como en $f(a)=b, f(b)=c, f(c)=d,$ y $f(d)=a$ ) hay 3 maneras de hacerlo.

Si hay dos "2 ciclos" (como en $f(a)=b$ y $f(b)=a$ ) hay $\binom{4}{2}=6$ formas de elegir el primer grupo de $2$ y $1$ manera de elegir el segundo grupo. Y sólo hay una manera de tener todo desordenado en este caso. Así que la respuesta es $24-(3+6)=\boxed{15}$ , que fue nuestra respuesta con el primer método.

Edit: Si quieres una solución general la otra respuesta la tiene más o menos.