Clases integrales en la cohomología de Rham

Question

Si $M$ es una variedad diferenciable, el teorema de De Rham da para cada entero positivo $k$ un isomorfismo $Rh^k : H^k_{DR}(M,\mathbb R) \to H^k_{singular}(M,\mathbb R)$ . Por otro lado, tenemos un mapa canónico $H^k_{sing}(M,\mathbb Z) \to H^k_{singular}(M,\mathbb R)$ . Permítame denotar (esto no es estándar) su imagen por $\tilde {H}^k_{singular }(M,\mathbb Z)$ . Mi pregunta es: ¿cómo se reconoce si, dado un diferal cerrado $k$ - formulario $\omega$ en $M$ su imagen $Rh^k([\omega]) \in H^k_{singular}(M,\mathbb R) $ es en realidad en $\tilde {H}^k_{singular}(M,\mathbb Z)$ .

Agradecería mucho una respuesta concreta, idealmente respaldada por uno o varios cálculos explícitos. Gracias por su atención.

Answer 1

Por la dualidad de Poincare a $k$ -será integral si su integral sobre todas las (suave) singular $k$ -ciclos es un número entero.

Answer 2

Creo que el resultado de Robin también es claro si miramos la definición del isomorfismo entre De Rham y ( ${\cal C}^\infty$ ) cohomologías singulares. (Vale, los dos estamos diciendo lo mismo, pero a mí me gusta decirlo así).

Recordemos (véase Dupont, Curvature and characteristic classes, Springer LNM 640) la definición del isomorfismo a nivel de la co-cadena:

$$ I : \Omega^n (M) \longrightarrow C^n (M) \ , $$

Ici $\Omega^n(M)$ son el grado $n$ -forma en $M$ , $C^n(M)$ el ${\cal C}^\infty$ singular $n$ -cadenas. Entonces, para $\omega \in \Omega^n (M)$ El valor de $I(\omega )$ en un ${\cal C}^\infty $ singular $n$ -simplemente $\sigma$ se define como

$$ I (w)_{\sigma} = \int \sigma^* \omega \ , $$

donde la integral se toma sobre la norma $n$ -simplemente $\Delta^n$ .

Por lo tanto, para $[I(w)]$ para ser una clase integral basta con que todos los valores de $I(w)$ sobre los ciclos $\tau = \sum_i \lambda_i\sigma_i$ son números enteros; es decir, si y sólo si $I(w)_\tau = \sum_i \lambda_i\int \sigma_i^*\omega \in \mathbb{Z}$ para todos los ciclos $\tau$ .

Answer 3

He aquí un procedimiento explícito basado en el isomorfismo entre las cohomologías de-Rham y Cech para las variedades suaves, basado en la obra de R. Bott y L.W. Tu libro : Formas diferenciales en topología algebraica.

La descripción se hará para un formulario de tres, pero se puede generalizar a lo largo de las mismas líneas a las formas de cualquier grado. Suponemos que el colector tiene una cubierta buena finita.

Los datos necesarios son las funciones de transición entre los gráficos de coordenadas (que se denotarán por: $U_\alpha$ , $U_\beta$ etc.) y, por supuesto, la expresión de coordenadas de la forma dada en cada gráfico.

Dada una forma triple F, entonces por el lema de Poincare, en $U_\alpha, F = dB_\alpha$ , donde $B_\alpha$ son dos formas en $U_\alpha$ .

Así, por el lema de Poincare sobre $U_\alpha \cap U_\beta$ :

$B_\alpha-B_\beta = dA_{\alpha\beta}$ , donde $A_{\alpha\beta}$ son una forma en $U_\alpha \cap U_\beta$ .

Desde el $U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma$ :

$d(A_{\alpha\beta}+A_{\beta\gamma}+A_{\gamma\alpha})=0$

Entonces, por el lema de Poincare

$A_{\alpha\beta}+A_{\beta\gamma}+A_{\gamma\alpha} = d\phi_{\alpha\beta\gamma}$

donde: $\phi_{\alpha\beta\gamma}$ son formas nulas en $U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma$ .

Una vez más, desde el principio: $U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma \cap U_\delta$ :

$d(\phi_{\alpha\beta\gamma}-\phi_{\beta\gamma\delta}+\phi_{\gamma\delta\alpha}-\phi_{\delta\alpha\beta})=0$

Entonces:

$\phi_{\alpha\beta\gamma}-\phi_{\beta\gamma\delta}+\phi_{\gamma\delta\alpha}-\phi_{\delta\alpha\beta} = C_{\alpha\beta\gamma\delta}$

donde: $C_{\alpha\beta\gamma\delta}$ son constantes.

La forma diferencial F es integral si:

$C_{\alpha\beta\gamma\delta}= 2 \pi n_{\alpha\beta\gamma\delta}$

donde $n_{\alpha\beta\gamma\delta}$ son enteros en todas las intersecciones cuádruples.

Answer 4

Esto no tiene nada que ver con la dualidad de Poincare o incluso con la cohomología de De Rham.

Dejemos que $X$ sea un espacio cualquiera. Por el teorema del coeficiente universal el mapa canónico $$H^p(X,\mathbb{Z}) \to \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}}(H_p(X,\mathbb{Z}),\mathbb{Z})$$

Es surjetivo. Además (también por el teorema del coeficiente universal si se quiere) tenemos

$$H^p(X,\mathbb{R}) \cong H_p(X,\mathbb{R})^*$$

Juntos conseguimos que $\alpha \in H^p(X,\mathbb{R})$ proviene de una clase de cohomología integral si la forma lineal inducida $\tilde{\alpha}:H_p(X,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ es una extensión lineal de una forma $H_p(X,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}$ . En otras palabras:

Una clase de cohomología real es integral si la forma lineal correspondiente toma valores enteros cuando se restringe a la red $H_p(X,\mathbb{Z})/{\operatorname{Torsion}} \subset H_p(X,\mathbb{R})$