Demuestra que $(a,b)$ está totalmente acotado.

Question

Dejemos que $\left (a,b\right)\subset\mathbb {R} $ estar dotado de la métrica del valor absoluto. En otras palabras, para demostrar que $\left (a,b\right)$ está totalmente acotado en $\mathbb {R}$ He utilizado los siguientes datos:

• Sur $\mathbb {R}$ dotado de la métrica euclidiana un conjunto $K$ es compacto si es cerrado y acotado.

• Todo conjunto compacto $K$ en un espacio métrico $\left (X,d\right)$ está totalmente acotado.

• Todo subconjunto no vacío $B$ de un conjunto totalmente acotado $A$ está totalmente acotado.

Creo que con este enfoque el problema está resuelto. Sin embargo, estaría tremendamente agradecido si alguien pudiera proporcionarme una pista para demostrarlo utilizando la definición. Esto es:

$\forall\epsilon>0$ existe una colección finita de puntos $x_{1},...,x_{n} \in \left (a,b\right)$ tal que

$\left (a,b\right)\subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B\left (x_{i},\epsilon\right) $

Gracias de antemano por la ayuda prestada.

Answer 1

Por la propiedad arquimédica de $\mathbb R$ para todos $\varepsilon>0$ existe $n\in\mathbb N$ tal que $n\varepsilon>(b-a)$ y podemos tomar $n$ para que sea el menor de esos números enteros. Consideremos los puntos $x_k=a+k\varepsilon$ para $k=1,2, \ldots,n-1$ y los intervalos $B(x_k,\varepsilon)$ cubrirá $(a,b)$ .

(Lo anterior no funciona del todo en caso de que $\varepsilon>b-a$ en cuyo caso se puede tomar $x_1=\frac{a+b}{2}$ y cubrir $(a,b)$ avec $B(x_1,\varepsilon)$ .)