Demostrar que la superficie $x(u_1,u_2)=(a(\cos u_1+\cos u_2), a(\sin u_1+\sin u_2), b(u_1+u_2))$ tiene una correspondencia isométrica con una superficie de revolución.
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David H
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Sugerencia: Cambiar las variables por, $\psi=\frac{u_1-u_2}{2}$ , $\phi=\frac{u_1+u_2}{2}$ ,
$$a(\cos u_1+\cos u_2)=2a\cos{\frac{u_1-u_2}{2}}\cos{\frac{u_1+u_2}{2}}=2a\cos{\psi}\cos{\phi}\\ a(\sin u_1+\sin u_2)=2a\cos{\frac{u_1-u_2}{2}}\sin{\frac{u_1+u_2}{2}}=2a\cos{\psi}\sin{\phi}\\ b(u_1+u_2)=2b\phi.$$
Esto se asemeja mucho a la forma paramétrica de una superficie de revolución alrededor del $z$ -eje, pero no estamos del todo ahí. ¿Puedes pensar en un segundo cambio de variables que termine el trabajo?
Alan
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Sí, hay que encontrar una cartografía que haga que las métricas sean idénticas. En el caso de tu superficie helicoidal la superficie de revolución debe ser un catenoide de alguna forma. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Catenoid .
luiz silva
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Puede consultar: 1- do Carmo, M. P., "Helicoidal surfaces with constant mean curvature" Tôhoku Math. J. 34, 425-435 (1982). 2- L. R. Hitt e I. Roussos "Computer graphics of helicoidal surfaces with constant mean curvature", Anais da Academia Brasileira de Ciências 63 (3), 211 (1991). ( https://www.dropbox.com/s/6yktpcxpiqavdcs/AnAcadBrasCi.63.211_1991_ComputerGraphicCMCsurfaces.pdf?dl=0 )
