¿Son siempre diferenciables las funciones continuas?

Question

¿Son siempre diferenciables las funciones continuas? ¿Existen ejemplos en la dimensión $n > 1$ ?

Answer 1

No. Weierstraß dio en 1872 el primer ejemplo publicado de un función continua que no es diferenciable en ninguna parte .

Answer 2

No, considere el ejemplo de $f(x) = |x|$ . Esta función es continua pero no diferenciable en $x = 0$ .

Hay incluso más funciones bizonas que no son diferenciables en todas partes, pero que siguen siendo continuas. Esta clase de funciones condujo al desarrollo del estudio de los fractales.

Answer 3

Para un ejemplo sencillo de una función continua en todas partes y no diferenciable en ninguna parte, es difícil de superar este ejemplo de John McCarthy.

Answer 4

Este es mi ejemplo favorito de intuición catastróficamente incorrecta en el análisis real.

En el cálculo, se suele enseñar que las funciones diferenciables son siempre continuas, pero además, todas las funciones continuas "comunes" dadas, como $f(x)=x^2$ , $f(x)=e^x$ , $f(x)=xsin(x)$ etc. también son diferenciables. Esto lleva a la falsa suposición de que la continuidad también implica diferenciabilidad, al menos en la "mayoría" de los casos.

La excepción a esto en los primeros cursos de cálculo es $f(x)=|x|$ que es continua Y diferenciable en cada punto excepto en $x=0$ .

Así que parece que si las funciones son no diferenciable, sólo puede ocurrir en un número finito de puntos.

En el análisis real, este concepto de ser diferenciable en todas partes excepto en un número finito de puntos se formaliza con la noción de "medida". Un número finito de puntos aislados y no diferenciables suma una medida de $0$ . La forma más precisa de comentar la diferenciabilidad de $f(x)=|x|$ es decir que es continua en todas partes y diferenciable casi en todas partes. Esto significa que la función $f(x)=|x|$ es diferenciable en cada subconjunto de $\mathbb{R}$ excepto los subconjuntos con medida 0, en particular, el conjunto único ${x}=0$ . Decir que es diferenciable en casi todas partes es ventajoso para decir que $f(x)=|x|$ no es diferenciable porque no tiene en cuenta cómo muchos puntos en los que no es diferenciable. Una función diferente podría no ser diferenciable en 3 puntos.

Así que puede parecer razonable que todas las funciones continuas sean diferenciables a.e. (en casi todas partes). Esto resulta ser completamente falso. En general, el conjunto de funciones continuas que son en ninguna parte diferenciable es denso en $C([0,1])$ (y para un intervalo general). Aún más fuerte, el conjunto de funciones que son diferenciables incluso en un solo punto es "escaso" en $C([0,1])$ . Esto se demuestra típicamente a través de pruebas que implican el Teorema de la Categoría Baire.

Esto significa simplemente que hay "mucho" más funciones que no se pueden diferenciar en ningún punto que funciones que se pueden diferenciar incluso en un solo punto (¡aunque no sea diferenciable en ningún otro lugar!). Esto contradice la intuición, pero esta situación es un gran ejemplo de por qué la demostración es tan vital para el análisis real y las matemáticas en general. Si un teorema se cumple en una dirección, nunca se debe asumir que lo contrario es cierto. Es probable que haya un contraejemplo. En esta situación particular, el contraejemplo resulta ser el caso general.

Answer 5

Un hecho interesante es que la mayoría de las funciones continuas (es decir, un conjunto de ellas) no son diferenciables en ninguna parte. La prueba es una consecuencia del teorema de la categoría de Baire y puede encontrarse (como ejercicio) en la obra de Kechris Teoría descriptiva clásica de conjuntos o Royden's Análisis real .