Estoy tratando de entender la relación entre los divisores de Weil y los divisores de Cartier, y me gustaría ver por qué son iguales en el caso simple donde $X$ es una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado. ¿Cuál es la forma más concreta de explicar la equivalencia entre los dos tipos de divisores en esta situación? En particular, si $P \in X$ es un punto cerrado considerado como un divisor de Weil primo, ¿cuál es el divisor de Cartier correspondiente a $P$? ¿Qué hay acerca del haz invertible correspondiente a $P$?
Respuesta
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1) El divisor de Cartier correspondiente al divisor de Weil $1.P$ está dado por el par $s=\lbrace (U,z),(V, 1) \rbrace$ descrito de la siguiente manera:
$\bullet$ $U$ es un entorno abierto de $P$ y $z$ es una función regular en $U$ cuyo único cero es $P$ con multiplicidad uno.
$\bullet \bullet$ $V=X\setminus \lbrace P\rbrace$ y por supuesto $1$ es la función constante igual a $1$ en $V.
(Este par determina una sección $s\in \Gamma(X,\mathcal K^* _X/\mathcal O^*_X)$ si desenredas lo que significa ser una sección de un haz cociente.)
2) El haz invertible correspondiente a $P$ es el haz denotado por $\mathcal O(P).
Su espacio vectorial de secciones $\Gamma(W,\mathcal O(P))$ sobre un subconjunto abierto $W\subset X$ consiste en aquellas funciones racionales $f\in Rat(W)=Rat(X)$ regulares en $W$ excepto quizás en $P$, donde $f$ se permite tener a lo sumo un polo de orden 1.
