¿Existe alguna definición de $H^1$ en la geometría unidimensional de Arakelov

Question

Considere un campo numérico $K$ con el anillo de enteros $O_K$ . En el esquema afín $\overline X=\operatorname{Spec}(O_K)$ tenemos la conocida geometría unidimensional de Arakelov.

Dejemos que $\overline D=\sum_{\mathfrak p\neq 0} r_\mathfrak p\mathfrak p+\sum_{\sigma} \lambda_{\sigma}\sigma$ sea un divisor de Arakelov en $\overline X$ (por supuesto $r_{\mathfrak p}\in\mathbb Z$ y $\lambda_{\sigma}\in\mathbb R$ ), entonces tenemos una noción bien definida de " $0$ -grupo de cohomología asociado a $\overline D$ ". La definición es la siguiente: $$H^0(\overline D):=\{f\in K^\times\colon v_{\mathfrak p}(f)\ge -r_{\mathfrak p}, v_\sigma(f)\ge -\lambda_\sigma \}\,.$$ Claramente $v_{\mathfrak p}$ es la valoración discreta asociada a $\mathfrak p$ por otro lado $ v_\sigma=-\log |\cdot|_\sigma$ es la valoración asociada a la norma compleja inducida por la incrustación $\sigma:K\to\mathbb C$ .

¿Existe alguna versión razonable de $H^1(\overline D)$ ? Espero una relación con $H^0(\kappa-\overline D)$ , donde $\kappa$ es el "divisor canónico" en la geometría de Arakelov, es decir, el divisor con componente cero en el infinito asociado a la inversa de la diferente de $K$ .

Sur esta pregunta el OP menciona una versión modificada de $H^0$ pero prefiero quedarme con la "clásica".

Answer 1

Existe una definición de $h^{1}(\overline{D})$ por muchas personas, y una definición de $H^{1}(\overline{D})$ por Alexrander Borisov utilizando la noción de espacios fantasmas del segundo tipo. Pero ninguno de los dos es lo mismo que los "originales" de los que hablas.

Como señaló Neukirch en su libro (página 210), en el entorno clásico una definición análoga de $H^{1}(\overline{D})$ está completamente ausente. La forma clásica de evitar este problema es definir $\chi(D)$ y para generalizar o se sacrifica la exactitud de Riemann-Roch o se reescribe la teoría utilizando $K$ - grupos. Ambos han sido ampliamente discutidos en Neukirch. Por lo que sé, aparentemente la misma situación ocurre también para la teoría de Arakelov bidimensional sobre superficies: no tenemos una definición razonable de $H^{i}$ En cambio, tenemos un "volumen de Faltings" que puede utilizarse de alguna manera para formar la característica de Euler. Muchas personas han trabajado para generalizar esto a situaciones de mayor dimensión en la década de 1980 utilizando el teorema del índice, incluyendo los esfuerzos sustituyendo el volumen de Faltings por la métrica de Quillen y uso sustancial de las clases características .

Si salimos de la zona de confort y estamos dispuestos a comprometernos, existe un "procedimiento de regularización" que permite definir $h^{1}(\overline{D})$ que esencialmente se reduce a la fórmula de suma de Poisson, o a la dualidad de Pontrajin si lo prefieres. Y ha sido inventó y reinventado por muchas personas . Pero el obstáculo esencial sigue siendo el mismo. En particular, parece bastante improbable que tengamos una teoría de cohomología de Arakelov construida a partir de funtores derivados o de la cohomología de Cech únicamente en el caso de la superficie aritmética. Pero tenemos algo análogo a la dualidad de Serre demostrado por Borisov en este caso, y generalizado al caso de los haces vectoriales utilizando una construcción similar a la de adeles por Ichiro Miyada. Sin embargo, falta el análogo de dimensión superior.

La dificultad parece concentrarse en el caso particular del divisor vertical en el infinito, para el cual el "enfoque del espacio fantasma" se derrumba y el enfoque clásico prospera (véase Lang , página 114). En todos los demás casos (divisor horizontal, divisor vertical en lugares finitos) el espacio fantasma da lo que queríamos. En particular, no está claro cómo definir una teoría unida que pueda recuperar Faltings-Riemann-Roch en el caso bidimensional. Hay bastantes expertos en teoría de Arakelov en el foro (Minhyong Kim, por ejemplo) que escribieron su tesis en torno a este tema. Estoy seguro de que pueden proporcionar una información mucho más profesional.

Actualización:

Lo aprendí del profesor Soule, pero creo que esto es bien conocido entre los expertos del círculo de investigación, que el volumen de Faltings tiene una relación explícita con la métrica de Quillen. La fórmula exacta se puede encontrar en el documento de la conferencia Bourbaki del profesor Soule sobre superficies aritméticas. Si no me equivoco, no existe un análogo de mayor dimensión del volumen de Faltings para las variedades aritméticas generales. Por lo que sé, los trabajos actuales que intentan generalizar el trabajo de Gillet-Soule (en el caso de las variedades con singularidad, por ejemplo) utilizan en su lugar la torsión analítica. Hasta ahora, incluso preguntas técnicas muy simples como "¿Se puede derivar la torsión analítica utilizando el volumen de Faltings directamente sin utilizar Faltings-Riemann-Roch?" pueden ser difíciles de responder.