Dejemos que $f$ sea integrable en $[a,b]$ . Supongamos que hay constantes $M$ y $N$ tal que $0 < M \leq |f(x)| \leq N$ , $\forall x \in [a,b]$ . Prueba $1/f$ es integrable en $[a,b]$ . Hasta ahora sé que $1/|f(x)|$ no es indefinido en ningún punto ya que $|f(x)| \geq M>0$ . Pero no estoy seguro de lo que sigue. En términos de integrabilidad de Riemann, estaba considerando que el supremum de { $f(x):x \in [x_{i-1},x_i]$ } es ahora el ínfimo, y viceversa, y la suma inferior se convierte en la suma superior, pero no estoy seguro de esta idea. Se agradece cualquier ayuda.
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Desde $f$ es integrable sobre $[a,b]$ para cualquier $\varepsilon >0$ podemos encontrar una partición $P$ tal que $$\sum_{i=1}^n \omega_i(f)\Delta x_i<\varepsilon$$ donde $$\omega_i=\sup_{x,y\in [x_{i-1},x_i]}|f(x)-f(y)|=\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)-\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$$
Ahora bien, hay que tener en cuenta que desde $M\leqslant f$ obtenemos $1/f$ está definido y acotado en $[a,b]$ y
$$\left|\frac{1}{f(x)}-\frac 1{f(y)}\right|=\frac{|f(y)-f(x)|}{|f(x)f(y)|}<M^{-2}|f(y)-f(x)|$$
Por lo tanto, bajo esta hipótesis, si usted sabe que puede hacer $\displaystyle\sum_{i=1}^n \omega_i(f)\Delta x_i$ pequeño, entonces puedes hacer $\displaystyle\sum_{i=1}^n \omega_i(f^{-1})\Delta x_i$ pequeño.
