Cómo demostrar que existe $c$ tal $f(c)f'(c)+f''(c)=0$

Question

Buena pregunta:

dejar $f(x)$ tienen dos derivadas en $[0,1]$ y tal $$f(0)=2,f'(0)=-2,f(1)=1$$ mostrar eso:

existe $c\in(0,1)$ ,tal $$f(c)f'(c)+f''(c)=0$$

mi intento: desde $$f(0)=2,f'(0)=-2,f(1)=1$$ así de fácil $$f(x)=x^2-2x+2$$ tal condición, pero no podemos usar esta función para probar este problema.

y otra idea: podemos encontrar esta ODE $$yy'+y''=0?$$

Gracias por su ayuda

Answer 1

Siguiendo la observación de Jyrki Lahtonen, dejemos

$$g(x) = \frac{f(x)^2}{2} + f'(x). $$

Desde $g'(x) = f(x)f'(x) + f''(x)$ basta con demostrar que $g$ tiene un punto estacionario. Si esto es falso, entonces $g$ es creciente o decreciente en $(0,1)$ .

Supongamos en primer lugar que $g(x)$ está aumentando. Sea $d = 1$ si $f(x) > 0$ para todos $x \in [0,1]$ y, en caso contrario, que $d$ sea el más pequeño de tal manera que $f(d) = 0$ . Para $x \in [0,d)$ tenemos que $-f'(x) \le f(x)^2/2$ . Dividiendo por el número estrictamente positivo $f(x)^2$ obtenemos $(\star$ ):

$$ \frac{-f'(x)}{f(x)^2} = \Bigl( \frac{1}{f(x)} \Bigr)' \le \frac{1}{2} \quad\text{for $ en [0,d) $.} $$

Desde $f(0) = 2$ La integración da como resultado $1/f(x) \le 1/2 + x/2$ , o de forma equivalente,

$$ f(x) \ge \frac{2}{1+x} \quad\text{for $ x en [0,d) $.} $$

De ello se desprende que $d=1$ . Además, utilizando la continuidad de $f'$ vemos que que

$$f(1) > \frac{2}{1+1}$$

a menos que la igualdad se mantenga en ( $\star$ ) para todos los $x \in (0,1)$ . Por lo tanto, $f(x) = \frac{2}{1+x}$ y $f(x)f'(x) + f''(x) = 0$ para todos $x \in (0,1)$ .

Supongamos ahora que $g(x)$ es decreciente. Obsérvese que si $f(d) = 0$ para algunos $d \in (0,1)$ entonces, ya que $f(1) = 1$ existe $e \in (d,1)$ tal que $f'(e) > 0$ . Por lo tanto, $g(e) > 0$ . Desde $g(0) = 0$ esto es imposible. Por lo tanto, el mismo argumento anterior demuestra que

$$ f(x) \le \frac{2}{1+x} $$

para $x \in [0,1]$ y como antes obtenemos $f(x) = \frac{2}{1+x}$ para todos $x \in [0,1]$ .

Answer 2

No sé, probablemente no entiendo el problema pero parece que se puede hacer lo siguiente:

Consideremos la ecuación diferencial $$ f''(x) + f(x) f'(x) =0 $$ con condiciones de contorno $f(0) = 2, f'(0) = -2, f(1) = 1$ .

Integrémoslo por primera vez, así obtenemos: $$ f'(x) + \frac{1}{2} f^2(x) = C_1 $$ $C_1$ encontraremos aplicando las condiciones de $x=0$ : $$ f'(0)+\frac{1}{2} f^2(0) = -2 + 2 = C_1 $$ Por lo tanto, la nueva ecuación es: $$ f'(x) + \frac{1}{2} f^2(x) = 0 $$ Y se puede integrar fácilmente: $$ \frac{2}{f(x)} = x + C_2 $$ Aplicando la última condición que es $f(1)=1$ se puede obtener: $$ f(x) = \frac{2}{x+1} $$ Parece que esta función satisface la ecuación $f'' + f f' = 0$ en cualquier punto de $(0,1)$ lo que significa que siempre se puede encontrar un punto $c$ tal que $f(c)f'(c)+f''(c)=0$ .