¿Se puede cancelar $\mathbb R$ en una incrustación bi-Lipschitz?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Supongamos que el producto $X\times\mathbb R$ admite una incrustación bi-Lipschitz en $\mathbb R^{n}$ . ¿Se deduce que $X$ admite una incrustación bi-Lipschitz en $\mathbb R^{n-1}$ ?

Definiciones y comentarios:

1. Un mapa $F\colon (Y,\rho)\to\mathbb R^n$ es una incrustación bi-Lipschitz si existe una constante $L$ tal que $L^{-1}\rho(a,b)\le |F(a)-F(b)|\le L\rho(a,b)$ para todos $a,b\in Y$ .
2. La elección de una métrica de producto en $X\times \mathbb R$ no hace ninguna diferencia. Para definirlo, dejemos que la distancia entre $(x,t)$ y $(x',t')$ sea $d_X(x,x')+|t-t'|$ .
3. La cancelación falla si se sustituye bi-Lipschitz por incrustación topológica o suave. Por ejemplo, $S^1\times \mathbb R$ se incrusta en $\mathbb R^2$ sin problemas, pero $S^1$ no se integra en $\mathbb R$ en cualquier sentido.
4. La anulación es posible cuando $n=1$ según $\mathbb R^0=\{0\}$ . :) Estoy bastante seguro de que también es posible cuando $n=2$ pero no tienen una prueba. Para $n\ge 3$ No tengo ni idea.

Answer 1

Creo que la respuesta a tu pregunta no depende en absoluto del espacio objetivo, sino sólo del dominio de tu función y de cómo definas la métrica en él. Si utilizas la métrica que has sugerido, la respuesta es positiva para cualquier espacio objetivo $Y$ . Porque, supongamos $F\colon X\times\mathbb{R}\to Y$ es una incrustación bi-Lipschitz en cualquier espacio métrico $Y$ . Definir un nuevo mapa $\hat F\colon X\to Y$ al establecer $\hat F(x)=F(x,0)$ . Entonces, lo consigues: $d_{Y}(\hat F(x),\hat F(y))=d_Y(F(x,0),F(y,0))\le L d_{X\times\mathbb{R}}((x,0),(y,0))=d_X(x,y)$ y de forma similar para la otra desigualdad. ¡Espero que esto ayude!