Diferencia de medias frente a los coeficientes de regresión OLS

Question

Supongamos que tengo un conjunto de datos en el que cada fila representa un sujeto de prueba. Hay una variable dependiente ( y ) y dos columnas binarias ( x1 , x2 ).

y

x1

x2

10

0

0

12

0

1

9

1

0

13

1

1

Hay cuatro grupos de personas (4 combinaciones posibles de x1 y x2). Quiero calcular el efecto medio del tratamiento de $x_1$ para cada tipo de $x_2$ . Es decir:

$$d_1 = E(Y|x_1=1, x_2=0) - E(Y|x_1=0, x_2=0)$$ $$d_2 = E(Y|x_1=1, x_2=1) - E(Y|x_1=0, x_2=1)$$

¿Cómo se compara este enfoque con el siguiente modelo de regresión? $$Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_{2i} x_2 + \beta_3 x_{1i} x_{2i} + \varepsilon_i$$

¿Es cierto que $d_1 = \hat{\beta}_1$ y $d_2 = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_3$ ?

Lo pregunto porque he probado ambos enfoques y las igualdades no se mantienen por un margen relativamente grande.

Answer 1

Recuerde que la regresión lineal implica una expectativa condicional. Es muy fácil demostrar que, bajo los supuestos,

$$E(Y|x_1=A, x_2=B)=\beta_0 + \beta_1 A + \beta_{2} B + \beta_3 AB$$

Entonces:

$$d_1 = E(Y|x_1=1, x_2=0) - E(Y|x_1=0, x_2=0) = (\beta_0 + \beta_1) - (\beta_0)=\beta_1$$ $$d_2 = E(Y|x_1=1,x_2=1) - E(Y|x_1=0, x_2=1) = (\beta_0 + \beta_1 + \beta_{2} + \beta_3)- (\beta_0 + \beta_{2})=\beta_1+\beta_3$$

Dijiste que habías probado los dos enfoques y que no coincidían. Es difícil responder por qué ocurrió eso, pero te ofreceré un ejemplo numérico a continuación:

x1 = sample(c(0,1), 100, replace = TRUE)
x2 = sample(c(0,1), 100, replace = TRUE)
y = rnorm(100)

Y_x = data.frame(y,x1,x2)

fit = lm(y ~.*., data = Y_x)

c(mean(y[x1 == 1 & x2 == 0]) - mean(y[x1 == 0 & x2 == 0]),coef(fit)[2])
#                   x1 
#-0.3181978 -0.3181978 
c(mean(y[x1 == 1 & x2 == 1]) - mean(y[x1 == 0 & x2 == 1]),coef(fit)[2]+coef(fit)[4])
#                   x1 
#0.03063305 0.03063305