Cómo interpretar parámetros en GLM con family=Gamma

Question

Tengo una pregunta sobre la interpretación de parámetros para un GLM con una variable dependiente distribuida gamma. Esto es lo que R devuelve para mi GLM con un enlace logarítmico:

Llamada:
glm(formula = ingreso ~ altura + edad + educación + casado + sexo + idioma + secundaria, 
    familia = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Residuos de desviación: 
       Min        1Q    Mediana        3Q       Máx  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coeficientes:
              Estimación Error estándar valor t Pr(>|t|)    
(Intercepto)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
altura       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
edad         0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educación    0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
casado      -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sexo        -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
idioma       0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
secundaria   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Códigos de significancia:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Parámetro de dispersión para la familia Gamma tomado como 0.1747557)

Desviación nula: 757.46  en 2999  grados de libertad
Desviación residual: 502.50  en 2992  grados de libertad
AIC: 49184

¿Cómo interpreto los parámetros? Si calculo exp(coef()) de mi modelo, obtengo alrededor de 500 para el intercepto. ¿Eso no significa el ingreso esperado si se mantienen constantes todas las demás variables, verdad? Dado que el promedio o media(edad) se encuentra en ~ 2000. Además, no tengo ni idea de cómo interpretar la dirección y el valor de los coeficientes de las covariables.

Answer 1

La especificación del GLM gamma vinculado por registro es idéntica a la regresión exponencial:

$$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$$

Esto significa que $E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$. Ese no es un valor muy significativo (a menos que hayas centrado tus variables para que tengan un promedio de cero previamente).

Hay al menos tres formas de interpretar tu modelo. Una es tomar la derivada del valor esperado de $y$ dado $x$ con respecto a $x$:

$$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$$

Esta cantidad depende de $x$ y $z`, por lo que puedes evaluar esto en los valores medios/medianos/modales o representativos de$x$y$z`, o tomar el promedio de $\hat y \cdot \beta$ sobre tu muestra. Estos se llaman efectos marginales. Estas derivadas solo tienen sentido para variables continuas (como la altura) y te indican un efecto aditivo de un pequeño cambio en $x$ en $y`.

Si $x$ fuera binario (como el sexo), podrías considerar calcular diferencias finitas en su lugar: $$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$$

Esto tiene más sentido ya que es difícil imaginar un cambio infinitesimal en el sexo. Por supuesto, también puedes hacer esto con una variable continua. Estos son efectos aditivos de un cambio de una unidad en $x`, en lugar de uno pequeño.

El tercer método es exponenciar los coeficientes. Ten en cuenta que:

$$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$$

Esto significa que puedes interpretar los coeficientes exponenciados multiplicativamente en lugar de aditivamente. Te dan el multiplicador en el valor esperado cuando $x$ cambia en 1.

Answer 2

Primero miraría los residuos para ver qué tan bien se ajusta el modelo. Si está bien, intentaría usar otras funciones de enlace a menos que tuviera motivos para creer que realmente provienen de una distribución gamma. Si la gamma sigue pareciendo convincente, concluiría que los términos estadísticamente significativos son la intercepción, la altura, la educación, el sexo y la escuela secundaria (los marcados con tres estrellas). Entre ellos no se puede decir más a menos que estén estandarizados (tengan el mismo rango).

Respuesta al comentario: ¡Entiendo mejor tu pregunta ahora! ¡Absolutamente puedes hacer eso! Un aumento unitario en la altura provoca un cambio relativo en el ingreso de exp(0.0082530)-1 ~= 0.0082530 (usando la aproximación exp x = 1 + x para x pequeñas) muy fácil de interpretar, ¿verdad?