Esta pregunta está motivada por una aplicación del mundo real relacionada con un proyecto artístico que implica la visualización de imágenes, pero mi búsqueda llegó a un callejón sin salida después de encontrar la página wikipage sobre Sistemas Kirkman (otros términos relacionados son Sistemas Steiner y el Problema del golfista social ) y revisando las referencias allí enlazadas. Algunas personas han escrito programas para esta cuestión específica que establecían límites inferiores (es decir: más de $2100$ ) pero ninguno ha encontrado una respuesta exacta.
La pregunta es:
Dado un conjunto de $40$ elementos, ¿cuál es el número máximo de subconjuntos, cada uno con $4$ elementos, que se pueden crear de manera que ningún triple aparezca más de una vez?
(Por ejemplo, si el conjunto incluye $A,B,C,D,E$ como elementos, entonces no se puede incluir en la colección de subconjuntos ambos $\{A,B,C,D\}$ y $\{A,B,C,E\}$ ya que, en este escenario, tendríamos el triple $A,B,C$ que aparece más de una vez).
Como extracto del Historia En la sección de la citada wikipágina, hay en el primer punto una pregunta atribuida a Wesley Woolhouse (1844):
"Determinar el número de combinaciones que se pueden hacer de $n$ símbolos, $p$ símbolos en cada uno; con esta limitación, que ninguna combinación de $q$ símbolos, que puedan aparecer en cualquiera de ellos se repitan en cualquier otro".
seguido de la fórmula:
$$\frac{n!}{q!(n-q)!)} \div \frac{p!}{q!(p-q)!}$$
Desafortunadamente, uno encuentra que esta fórmula es falso ya para pequeños ejemplos (por ejemplo $n=5, p=4, q=3$ ) y, de hecho, la lectura de esa página indica que la fórmula sólo es válida en determinados casos.
Reformulado, busco una respuesta a la pregunta de Woolhouse para el caso de $n=40, p=4, q=3$ ya sea por un argumento de conteo, un programa efectivo o una referencia. Por favor, etiquete/reetiquete según corresponda; ¡gracias!
