OEM lagrangiano y hamiltoniano con fuerza disipativa

Question

Estoy tratando de escribir el Lagrangiano y el Hamiltoniano para el oscilador armónico forzado antes de cuantificarlo para llegar a la imagen cuántica. Para el MOE $$m\ddot{q}+\beta\dot{q}+kq=f(t),$$ Escribo el Lagrangiano $$ L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-\frac{1}{2}kq^{2}+f(t)q$$ con la función de disipación de Rayleigh como $$ D=\frac{1}{2}\beta\dot{q}^{2}$$ para poner en el Lagrangian EOM $$0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}. $$

Sobre la transformada de Legendre de $L$ Me sale $$H=\frac{1}{2m}{p}^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}-f(t)q.$$

¿Cómo incluyo el término disipativo para obtener el MOE correcto a partir del MOE del Hamiltoniano?

Answer 1

El problema: Dada la segunda ley de Newton

$$\begin{align} m\ddot{q}^j~=~&-\beta\dot{q}^j-\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\}, \end{align}\tag{1} $$

para una partícula puntual no relativista en $n$ dimensiones, sometido a una fuerza de fricción, y también sometido a varias fuerzas que tienen un potencial total $V(q,t)$ que puede depender explícitamente del tiempo.

I) Enfoque convencional: Existe una formulación no variacional de las ecuaciones de Lagrange

$$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&Q_j, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{2} $$

donde $Q_j$ son las fuerzas generalizadas que no tienen potenciales generalizados. En nuestro caso (1), el Lagrangiano en la ec. (2) es $L=T-V$ con $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ y la fuerza

$$ Q_j~=~-\beta\dot{q}^j\tag{3} $$

es la fuerza de fricción. Se muestra, por ejemplo, en este Phys.SE post que la fuerza de fricción (3) no tiene un potencial. Como menciona OP, se puede introducir el Función disipativa de Rayleigh pero no se trata de un verdadero potencial.

Convencionalmente, exigimos además que la lagrangiana sea de la forma $L=T-U$ , donde $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ está relacionado con el LHS de las EOM (1) (es decir, el lado cinemático), mientras que el potencial $U$ se relaciona con el lado derecho de las MOE (1) (es decir, el lado dinámico).

Con estos requisitos adicionales, el MOE (1) no tiene una formulación variacional de las ecuaciones de Lagrange

$$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&0,\cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{4} $$

es decir Ecuaciones de Euler-Lagrange . La transformación de Legendre a la formulación hamiltoniana se define tradicionalmente sólo para una formulación variacional (4). Por lo tanto, hay no formulación hamiltoniana convencional del MOE (1).

II) Enfoques no convencionales:

1. Truco con factor exponencial $^1$ : Definir, para mayor comodidad, la función $$ e(t)~:=~\exp(\frac{\beta t}{m}). \tag{5}$$ Una posible formulación variacional (4) de las ecuaciones de Lagrange viene dada entonces por la lagrangiana $$\begin{align} L(q,\dot{q},t)~:=~&e(t)L_0(q,\dot{q},t), \cr L_0(q,\dot{q},t)~:=~&\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q,t).\end{align}\tag{6}$$ El hamiltoniano correspondiente es $$ H(q,p,t)~:=~\frac{p^2}{2me(t)}+e(t)V(q,t).\tag{7}$$ Una advertencia es que el Hamiltoniano (7) no representa la noción tradicional de energía total. Otra advertencia es que este enfoque no convencional no puede generalizarse al caso de que dos sectores acoplados de la teoría requieran factores diferentes (5), por ejemplo, cuando cada coordenada $q^j$ tiene relaciones individuales de fricción sobre la masa $\frac{\beta_j}{m_j}$ , $j\in\{1, \ldots, n\}$ . Para que este enfoque poco convencional funcione, es crucial que el factor (5) sea un factor multiplicativo común global para el lagrangiano (6). Este es un requisito poco natural desde el punto de vista de la física.

2. Imposición de MOE mediante multiplicadores de Lagrange $\lambda^j$ : Un principio variacional para las MOE (1) es $$\begin{align}L ~=~& m\sum_{j=1}^n\dot{q}^j\dot{\lambda}^j\cr &-\sum_{j=1}^n\left(\beta\dot{q}^j+\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}\right)\lambda^j.\end{align}\tag{8}$$ (Aquí, por comodidad, hemos "integrado el término cinético por partes" para evitar las derivadas temporales superiores).

3. Doble truco: Véase, por ejemplo, la ecuación (20) en C.R. Galley, arXiv:1210.2745 . El lagrangiano duplicado es $$\begin{align} \widetilde{L}(q_{\pm},\dot{q}_{\pm},t) ~=~&\left. L(q_1,\dot{q}_1,t)\right|_{q_1=q_+ + q_-/2}\cr ~-~&\left. L(q_2,\dot{q}_2,t)\right|_{q_2=q_+ - q_-/2}\cr ~+~&Q_j(q_+,\dot{q}_+,t)q^j_-\end{align}\tag{9}. $$ Las condiciones iniciales son $$\left\{\begin{array}{rcl} q^j_+(t_i)&=&q^j_i,\cr\dot{q}^j_+(t_i)&=&\dot{q}^j_i,\cr q^j_-(t_i)&=&0.\end{array}\right.\tag{10} $$ Las condiciones finales son $$\begin{align}\left\{\begin{array}{rcl} q^j_-(t_f)&=&0\cr \dot{q}^j_-(t_f)&=&0 \end{array}\right. & \cr\cr\qquad\Downarrow&\qquad\cr\cr \left.\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{q}^j_+}\right|_{t=t_f}~=~&0 .\end{align}\tag{11} $$ El $5n$ Las condiciones de contorno (10) y (11) no sobrecargan el sistema. Todavía se obtienen las ecuaciones de Lagrange (2) [¡ahora planteadas como un problema de valor inicial!], y la solución física límite $q_-^j= 0$ . El truco de la duplicación (9) es efectivamente lo mismo que introducir multiplicadores de Lagrange (8).

4. Método bialocal de Gurtin-Tonti: Véase, por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

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$^1$ Sugerencia para el sombrero: Valter Moretti .

Answer 2

Problema : resolver el MOE

$$\ddot x + \beta \dot x + \omega^2 x = f(t)$$

Como enfoque utilizaremos, además de $x(t), \dot x(t)$ dos nuevos parámetros $y(t), \dot y(t)$ .

Introduzcamos, por arte de magia, una lagrangiana para este sistema auxiliar

$$L(x, y, \dot x, \dot y, t) = \dot x \dot y - \beta \dot x y - \omega^2 x y - (x + y) f(t)$$

Lo importante es notar que las ecuaciones de movimiento de este sistema son

$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = \ddot y - \beta \dot y + w^2 y - f(t) = 0\\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot y} \right) - \frac{\partial L}{\partial y} = \ddot x + \beta \dot x + w^2 x - f(t) = 0 $$

Como se puede ver, recuperamos las ecuaciones de movimiento para nuestro sistema original junto con una EOM auxiliar.

A partir de aquí, todo va según la teoría de la mecánica hamiltoniana. Podemos encontrar los momentos generalizados:

$$ p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \dot y - \beta y\\ p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot y} = \dot x$$

Y reescribiendo el Langrangiano como un Hamiltoniano

$$H(x, y, p_x, p_y, t) = p_x p_y + \omega^2 x y + \beta y p_y + (x + y) f(t)$$

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El método es un poco más general, véase Teoría de la perturbación conservadora para sistemas no conservadores que me introdujo en la idea de los parámetros auxiliares mediante el ejemplo del oscilador de Van der Pol.

Por lo que veo, este método debería funcionar bien incluso cuando $x \in \mathbb R^n$ en cuyo caso también se elegiría $y \in \mathbb R^n$ .